Int4. Производная произведения
Мы продолжаем изучать производную, 10³ чертей! И, в принципе, со сложными функциями мы закончили. Сегодня разберём такую простую тему, как производная произведения.
Итак, мои зеленорожие собратья, как гласит формула Лейбница,
(fg)' = f'g + fg'
То есть, производная произведения двух функций есть сумма произведений первой функции с производной второй функции и второй функции с производной первой функции. Разумеется, ни черта не понятно, да и не особо-то и нужно понимать.
Давайте лучше разберём на примере. Решим двумя способами выражение
(2cosx * sinx)' — ?
Первый способ — через формулы тригонометрии привести к элементарной функции и продифференциировать:
Второй способ — вынести 2 как коэффициент, продифференциировать выражение по сегодняшней формуле:
Делаем вывод: по крайней мере, для этой функции, формула Лейбница работает, и мы правильно ею воспользовались. В общем-то, нас волнует второе, потому что первое имеет математическое обоснование и мы это прекрасно знаем.
Теперь давайте что-нибудь посложнее.
f(x) = lnx * x²³
Найдём производную:
Ну и давайте теперь рассмотрим то же самое, только добавим третью функцию.
f(x) = lnx * x²³ * sinx
Решение:
Смысл в том, что сколько бы вы ни брали множителей, суть формулы Лейбница остаётся одной и той же:
(uv)' = u'v + uv'
(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'
(uvwy)' = u'vwy + uv'wy + uvw'y + uvwy'
и т.д.
Опять же, если вы настоящий морской волк, и хотите порешать производные самостоятельно, вот вам скрин из учебника Никольского «Алгебра и начала математического анализа, 11 класс»:
Также, дополнительно, предлагаю вам через этот способ порешать производную частного, рассматривая как функцию не отдельно знаменатель, а дробь 1/g(х). Дифференциировать дробь мы будем в следующей статье.
Что касается формулы Лейбница, мы к ней ещё вернёмся, когда будем изучать производные больших порядков.
Предыдущая статья:
Int3. Производные сложных функций
Следующая статья: