ЕГЭ. 33 дня до экзамена. Разбор параметров

ЕГЭ, хоть и непонятно когда, но будет. А значит, мне пора засунуть в жопу палку и писать разборы вариантов и конкретных заданий. Поскольку 18 задание одно из самых прикольных, этот разбор посвящается ему. С вашего позволения, я буду просто пиздить задания с решу егэ, из ларинских вариантов и у своих друзей

Ну, я думаю, очевидно, что чтобы решать 18 задание, нужно знать основные функции, которые встречаются в заданиях и их свойства. Этих функций не так много, и их осознание быстро приходит с опытом, но если что, вы всегда можете писать в лс паблика, я постараюсь помочь.

Для удобства выпишу их в общем виде, и объясню, что куда совать:

1. Прямая.
   y = kx + b
   k — тангенс угла между прямой и положительным направлением оси ОХ
   b — координата пересечения прямой с осью OY
2. Квадратичная парабола.
   y = ax²+bx+c
   y = a(x-d)(x-e)
   y = a(x-m)²+n
   d, e — нули функции
   m, n — координаты вершины параболы
   a > 0 — ветви вверх
   a < 0 — ветви вниз
   Чем меньше |a|, тем шире парабола
3. Гипербола.
   y = k/(x-a) + b
   a, b — координаты точки, относительно которой симметрична гипербола
   k > 0 — гипербола справа вверху и слева внизу
   k < 0 — гипербола слева вверху и справа внизу
   Чем меньше |k|, тем шире гипербола
4. Окружность.
   (x-a)²+(y-b)² = r²
   Окружность с центром в координатах a, b радиусом r

Все эти a, b, c, k, r — и есть параметры. Это просто какие-то числа, от которых не зависит общий вид функции, но зависит её положение и, скажем так, размер. В задачах ЕГЭ, однако, параметры слегка сложнее, в том плане, что они бывают с корнями, логарифмами ну или просто как-то интересно поставлены. Но суть остаётся сутью, параметр — это число, регулирующее функцию.

В задачах ЕГЭ нужно найти как раз-таки такие параметры, чтобы выполнялись условия задачи.

Ну и ещё, вдобавок к тому, что я написал выше, иногда встречается кубическая парабола. Вам, вероятно, она известна просто как y = x³.

Но, на самом деле, она, как правило, куда более изогнутая.

Эта хуёвина может иметь либо 1 корень, либо 2, либо 3. И, обычно, её свойства смотрят по производной. Разберёмся в процессе решения.

Также порой встречаются какие-нибудь несложные тригонометрические функции, логарифмы и корни, но с ними можно справиться иначе.

Начать предлагаю с какой-нибудь простенькой хуйни с РешуЕГЭ.

Казалось бы, страшная хуйня. Но это только казалось бы. На самом деле, тут всё легко.

Сразу обращаем внимание на корни. Они накладывают на нас ОДЗ:
х < 6
x ≥ -2

Это значит, что когда мы перейдём к графикам, мы будем смотреть только на этот кусок координатной плоскости — от -2 до 6 по оси ОХ

Теперь мы имеем право избавиться от корней. Корень из знаменателя сразу посылаем нахуй — он нам больше не нужен.

Корень из числителя заменяем на просто x+2, потому что нет разницы,
√(x+2) = 0 или просто
x+2 = 0

Итак, мы переходим от первоначальной системы к более простой

-2 ≤ x < 6
(y²-xy+3x-y-6)(x+2) = 0
x+y-a = 0

Предлагаю ещё проработать y²-xy+3x-y-6.

Как это сделать? Ну, мы видим, что для начала нам проще вынести переменную х.

Выносим.
x(3-y) + y²-y-6

y²-y-6 это квадратный трёхчлен. Можете расписать его через дискриминант, можете через Виета — тем более что «x(3-y)» — своебразная подсказка, что нужно выносить. Итак.

y²-xy+3x-y-6 =
x(3-y) + y²-y-6 =
y²-y-6 - x(y-3) =
(y-3)(y+2) - x(y-3) =
(y-3)(y+2-x)

Вот и всё. Перепишем систему с изменениями

-2 ≤ x < 6
(y-3)(y-x+2)(x+2) = 0
x+y-a = 0

Обратите внимание на вторую строчку. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю. То есть любая из этих скобок может быть равна нулю. То есть вторая скобка — совокупность прямых.

-2 ≤ x < 6
* y = 3
* y = x-2
* x = -2
x+y-a = 0

*
* — это я так обозначил совокупность
*

Так, ну и последняя строчка.
x+y-a = 0
y = -x+a

Если мы посмотрим на классическое уравнение прямой,
y = kx+b, то увидим, что
k = -1
b = a

То есть значение k не зависит от параметра, оно постоянно для этой функции и все прямые, которые могут быть заданы этой функцией, параллельны друг другу. Параметр a отвечает за смещение прямой. Другими словами, значение a совпадает с точкой, в которой прямая пересекает ось OY.

Делаем вывод, что это набор параллельных прямых, они все проходят из верхнего левого угла в нижний правый под углом 45° ко всем осям. Это очень удобно. Давайте построим график.

Красные линии — совокупность прямых, пересечение чёрной линии с каждой из которых — есть одно решение системы. Чёрная линия может перемещаться вверх-вниз за счёт параметра a, но она всегда будет параллельна той, что я нарисовал. Синяя область — та область, за пределы которой мы не можем выходить.

Ну давайте попередвигаем нашу прямую. Обратите внимание, что она независимо ни от чего пересечёт прямую
x = -2
в одной точке.

Две другие прямые она может пересекать или не пересекать. И ещё очень важно проверить все точки пересечения красных прямых — что будет, если чёрная прямая пройдёт через них.

Вот прямая при a = -6 (мы видим, что чёрная прямая пересекает ось OY в точке -6). Я оставил курсор на точке пересечения. Это единственная точка пресечения чёрной линии и красной совокупности в синей области. То есть при a = -6 система имеет только одно решение.

Но стоит нам сдвинуть прямую на бесконечно малую величину, система тут же получает ровно 2 решения.

В общем-то, можем смело поднимать её до тех пор, пока что-нибудь не случится. Что-нибудь — это точка пересечения.

Тут ещё, как вы видите, две точки пересечения. Но сдвигаем немного вверх…

Тут уже три точки. Поднимаем прямую ещё выше.

Тут две точки пересечения, и мы должны это запомнить. Однако сдвинув ещё немного вверх вернёмся к трём. В следующий раз что-то произойдёт уже на границе области.

Тут уже две точки, так как х = 6 — выбитая.

Так и будет две точки до следующей границы.

Ну вот и всё, в этой точке и выше всегда будет только одно пересечение.

Вспоминая всё, что мы имели раньше, получим ответ:

Ответ: a € (-6; 0] U [8; 10) U {6}

На самом деле, это не нужно так разрисовывать, достаточно просто написать.

Ну и представить в голове и не ошибиться при этом.

P.S. Я очень прошу прощения, но когда я рисовал графики, я вместо
y = 3 сделал y = 2.

Из-за этого ответ неправильный. Правильный ответ
a € (-6; 1] U [9; 10) U {8}

Вот. Давайте дальше.

Прекрасная задача. Строить в этот раз ничего не будем, просто порассуждаем.

Смотрим на х и на у, не видим никаких степеней и прочей поеботы и понимаем, что перед нами две прямые.

Прямые на плоскости могут быть параллельны (0 решений системы), могут пересекаться (1 решение системы) и могут совпадать (бесконечно много решений системы).

Чтобы прямые совпадали, должны совпадать их коэффициенты. Ну смотрим, в первом уравнении справа 4, а во втором справа 2, что в 2 раза меньше. Домножим нижнее уравнение на 2.

8x + (a²+ab+b²)y = 4
2(a-b) + 52y = 4

Ну а теперь нам не остаётся ничего, кроме как взять и приравнять коэффициенты при x и у.

a²+ab+b² = 52
2(a-b) = 8

Проще начать со второго.
a-b = 4
a = b+4

Теперь просто подставляем в первое и считаем

b²+8b+16 + b²+4b + b² = 52
3b²+12b-36 = 0
b²+4b-12 = 0

D = 16+48 = 64
b = (-4±8)/2 = -6; 2

Ну а теперь подставляем эти значения в
a = b+4 и получаем
a = -2; 6

Ответ: {a=-2; b=-6}, {a=6; b=2}.

П-р-е-л-е-сть

Давайте усложблять.

Упс. Неравенство. Придётся объяснять, что с ним делать. Это не так сложно. Думаю, вы видите, что в скобках прямые. Произведение двух множителей меньше нуля, когда у них разные знаки, то есть либо

y-2x ≥ 0
2y-x ≤ 0

либо

y-2x ≤ 0
2y-x ≥ 0

Ок, продолжая эту хуёвину, получим такую штуку.

y ≥ 2x
y ≤ х/2

или

y ≤ 2x
y ≥ х/2

y > 2x это всё, что находится выше прямой y = 2x.
y < 2x это всё, что находится ниже прямой y = 2x.

Обратите внимание на наши системы. По сути, нам удовлетворяет всё, что находится выше нижней прямой и ниже верхней прямой. Фигура в форме песочных часов, положенных набок. Мы это нарисуем попозже.

Теперь смотрим на уравнение ниже. Выражение под корнем всегда неотрицательно [сумма квадратов], выражение справа тоже [модуль]. А это значит, что ни одна сутулая псина не помешает нам возвести это уравнение с двух сторон в квадрат. Получим

(x+a)²+(y-a)² = (a+1)²/5

Ого, да это же окружность. И что нам с ней делать? Будем смотреть и наблюдать.

Нам надо, чтобы система имела ровно два решения, но у нас же в первой строчке было не уравнение, а неравенство, то есть целая область точек, где может быть бесконечно много решений. Ну, то есть, если окружность вдруг как-то попадёт в эту область, то все точки на её дуге будут решениями, а точек на дуге окружности очень много.

Если же окружность будет за пределами этой области, система не будет иметь решений. Значит, единственный случай, который нам подходит — когда окружность касается каждой из прямых и не пересекает их.

Рисуем прямые.

Давайте обратим внимание на то, что у нас в скобках окружности.
(x+a)²+(y-a)² значит, что центр окружности смещён на a единиц влево и на a единиц вверх. Проще говоря, он лежит на прямой
y = -x

Нарисуем её

Обратите внимание — эта прямая равноудалена от двух других — тех, которые должна касаться окружность. Это значит, в общем-то, что если окружность касается одной из прямых, то она касается и другой. А значит, нам достаточно посмотреть точки касания только для одной из прямых.

Думаю, вы прекрасно понимаете, что подходящих точек будет всего две — одна выше начала координат, другая ниже.

Как нам их найти? Очень просто. Возьмём прямую, скажем, y = 2x, которая больше стоит, чем лежит. Если окружность имеет общие точки с этой прямой, значит, она равна ей, а, значит, вместо y в уравнении окружности мы можем подставить 2x.

(x+a)²+(y-a)² = (a+1)²/5
(x+a)²+(2x-a)² = (a+1)²/5

Здорово. Теперь предлагаю раскрыть скобки.

x²+2ax+a² + 4x²-4ax+a² = a²/5 + 2a/5 + 1/5
5x²-2ax+2a² = a²/5 + 2a/5 + 1/5
5x² - 2ax + 9a²/5 - 2a/5 - 1/5 = 0
25x² - 10ax + 9a²-2a-1 = 0

Что дальше? Перед нами квадратное уравнение. И мы точно знаем, что окружность пересекает прямую только в ОДНОЙ точке. Это значит, что наше уравнение имеет только ОДИН корень. То есть дискриминант РАВЕН нулю. Берём дискриминант и смотрим.

D = 100a² - 4*25*(9a²-2a-1) =
100a² - 900a² + 200a + 100 = 0
-800a² + 200a + 100 = 0
8a² - 2a - 1 = 0

Снова квадратное уравнение. Только легко решаемое. Снова берём дискриминант, пожалуй, потому что Виета в письменной форме объяснять непросто.

D = 4 + 8*4 = 36
a = (2±6)/16 = -0,25; 0,5

Вы не поверите, но это и есть ответ задачи. Мы нашли те значения a, в которых окружность касается прямых, то есть система имеет два решения.

Ответ: а = -0,25; 0,5

Так, нам с вами встретились неравенства, и они встретятся и в будущем, поэтому я должен сделать отступление.

Неравенства это как уравнения, только они охватывают на графиках целые области. Логика, на самом деле, очень проста.

Если у нас есть какое-то неравенство
y > f(x),
то это вся область, которая находится над графиком
y = f(x)

Если у нас есть какое-то неравенство
y < f(x),
то это вся область, которая находится под графиком
y = f(x)

Ну и давайте покажу на примерах

1 of 2

1 of 2

1 of 3

1 of 2

Ну и отдельный случай — окружность. Её же обычно записывают как
x² + y² = r², то есть икс и игрек с одной стороны.

Поэтому там немного по-другому/

1 of 2

Вот.

Ну и раз пошла такая херня, давайте ещё разберёмся, как не заморачиваться с модулями.

Совсем не заморачиваться не выйдет, но можно уменьшить мороки. В общем-то, модуль, как правило, отражает график. Давайте посмотрим. На последущих картинках сплошной линией — график модуля, пунктиром — график без модуля.

То есть прямая просто взяла и отразилась, вместо того чтобы идти вверх. Это очень логично, ведь игрек РАВЕН модулю, а модуль всегда больше нуля. Икс же находится ПОД модулем, поэтому может быть любым.

Что будет, если мы засунем какую-нибудь цифру под модуль?

Это тоже весьма логично, потому что
х+20 = 0 при х = -20.

А если за модуль?

Тоже логично. Самое маленькое значение модуля — 0, но даже при этом значении игрек будет равен 20. Поэтому 20 и будет минимумом для этого модуля.

А если мы поставим два модуля? Давайте сделаем это в несколько этапов

1 of 5

Ну, то есть, отрицательная часть просто берёт и перегибается в положительную. Прикольно, да? А теперь давайте возьмём и добавим модуль к игреку

Вот. Это всё потому, что у нас модули с двух сторон. А если с двух сторон модули, то под модулями могут быть любые числа, удовлетворяющие функции. И она не просто отражается, но ещё и копируется.

А теперь давайте возьмём функцию y = x + 20, перенесём икс к игреку и объединим их общим модулем.

Это две прямые. y = x+20 и y = x-20. Тут уже придётся раскрывать модуль и думать.

При раскрытии модуля мы смотрим, что больше — икс или игрек. Если игрек больше икса, то мы получаем функцию
y - x = 20
y = x + 20

Смотрим на эту функцию и понимаем, что игрек действительно больше, чем икс. На 20. Если мы предположим, что икс больше игрека, то получим функцию
x - y = 20
y = x - 20

И поймём, что игрек действительно меньше, чем икс. На 20.

Знать этот модуль необязательно, я сам наткнулся на него только что. Если бы вместо 20 я написал -20, у модуля бы вообще не было графика.

С остальными функциями, выраженными явно всё работает почти также. А из выраженных неявно на экзамене может попасться только окружность.

Модуль в окружности редко что меняет, и, пожалуй, единственный случай, когда он что-то меняет, это
(|x|-a)²+(y-b)² = r²

Ну или когда модуль так же стоит у игрека, или когда он стоит у обоих. Выглядит это примерно так:

Так:

Ну или так:

Эта фигура вроде называется цветочком. А может нет. Ну вам никто не запретит назвать её так на экзамене. Хотя вряд ли вам его дадут.

Всёёёёёёёёёё, с модулями разобрались. Продолжаем решатб

Вот вам говно, которое мне скинул Никита. Тот, что пишет статьи в телеге. Он очень хорошо разбирается в параметрах. Я не настолько, но это не мешает мне сейчас сидеть и потенциально ебать вам мозг.

Графики здесь не помогут. Наверное. Решать будем по мере решения.

Не знаю, видите ли вы, но я прекрасно вижу, что тут идеально подходит замена
t = x/(x²+1)

Тогда
f(t) = 16at³ - 12t² - 12(a+1)t

За убывание, вроде бы, отвечает производная. Поэтому предлагаю её найти. По формуле для сложных функций

f'(x) = t'(x)*f'(t)

t'(x) = (x/(x²+1))' =
(x'*(x²+1) - x*(x²+1)')/(x²+1)² =
(x²+1 - 2x²)/(x²+1)² =
(1-x²)/(x²+1)²

f'(t) = (16at³ - 12t² - 12(a+1)t)' =
48at² - 24t - 12(a+1)

f'(x) = (1-x²)/(x²+1)² * (48at² - 24t - 12(a+1))

Итак, мы нашли производную. Функция убывает тогда, когда производная не больше нуля. А нам нужно, чтобы она всегда убывала. То есть, всегда была не больше нуля. Решаем неравенство

(1-x²)/(x²+1)² * (48at² - 24t - 12(a+1)) ≤ 0

Давайте сразу заметим, что x²+1 больше нуля при любых икс, и домножим всё выражение на него.

(1-x²)*(48at² - 24t - 12(a+1)) ≤ 0

Заметим, что из второй скобки можно вынести 12. Вынесем и разделим всё на 12.

12(1-x²)*(4at² - 2t - (a+1)) ≤ 0
(1-x²)*(4at² - 2t - (a+1)) ≤ 0

Решим квадратное уравнение внутри. Точнее говоря, найдём нули второй скобки.

4at² - 2t - (a+1) = 0

D = 4 + 16a(a+1) =
16a² + 16a + 4 =
4(4a²+4a+1) =
4(2a+1)² =
(4a+2)²

t = (2±(4a+2))/8a =
-0,5; (a+1)/2a

Красиво.

Чтобы не тащить это всё вовнутрь, предлагаю прямо здесь раскрыть замену.

t = -0,5
x/(x²+1) = -0,5
x = -0,5x² - 0,5
x² + 2x + 1 = 0
(x+1)² = 0
На этом мы и остановимся

t = (a+1)/2a
x/(x²+1) = (a+1)/2a
2ax = (a+1)x² + a+1
(a+1)x² - 2ax + a+1 = 0
x² - 2ax/(a+1) + 1 = 0
Тут тоже достаточно

Итак,

(1-x²)*(4at² - 2t - (a+1)) ≤ 0
(1-x²)*(x+1)²*(x² - 2ax/(a+1) + 1) ≤ 0
(x²-1)*(x+1)²*(x² - 2ax/(a+1) + 1) ≥ 0
(x-1)*(x+1)³*(x² - 2ax/(a+1) + 1) ≥ 0

А теперь — в чём смысл этого всего? Наша функция состоит из произведений этих скобочек. Каждая скобочка по сути — точка, в которой производная пересекает ось ОХ. То есть каждая такая скобочка меняет знак производной на каком-то промежутке.

А нам надо, чтобы она была одного знака на ЛЮБОМ промежутке. То есть каждая скобочка не должна менять знак. То есть все они должны быть всегда положительны. А единственный способ это сделать — возвести их в чётную степень.

У нас есть две скобочки с нечётной степенью и ещё две скобочки, спрятанные в выражении (x² - 2ax/(a+1) + 1). Так вот чтобы всё выражение стало стоять в чётной степени, нужно, чтобы независимо от икс выполнялось равенство

x² - 2ax/(a+1) + 1 = (x-1)(x+1)
x² - 2ax/(a+1) + 1 = x²-1

Выполняться это равенство, однако, не может, потому что 1 ≠ -1.

На основе этого делаем вывод, что подходящих а нет, то есть

Ответ: a = Ø

На ЕГЭ такой хуйни не будет, но подобные методы используются иногда.

Тоже от Никиты. Расслабиться немного. Тем более что мы уже смотрели, как выглядит окружность с модулем.

Первая окружность имеет радиус 3 и смещена по оси ОХ на 5, то есть не касается оси OY. Это значит, что эту окружность просто раздвоит с двух сторон от OY.

Вот так. Ну а второе выражение это окружность с центром -2; 0

Вот так. А радиус у этой окружности равен а.

Система должна иметь одно решение, то есть синяя окружность должна касаться одной из красных.

Очевидно, что она может касаться левой окружности. И нужно не забыть о возможности касания с правой. Когда красная лежит внутри синей. Я забыл. Спасибо Никите, что сказал об этом.

1 of 2

Мы должны также показать два случая, когда при касании с одной окружностью синяя пересекает другую, и откинуть их. На ЕГЭ это можно, наверное, просто обозначить словами, не доказывая.

1 of 2

Ну а теперь вернёмся к подходящим случаям.

Из свойств геометрии: точка касания двух окружностей лежит на отрезке, соединяющие их центры.

Нарисуем этот отрезок для первого случая.

А теперь обратите внимание на фиолетовый треугольник на рисунке ниже:

Это прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. По теореме Пифагора, гипотенуза — 5. А это как раз наш отрезок, соединяющий центры.

Отрезок, соединяющий центры касающихся окружностей состоит из их радиусов. Радиус красной окружности — 3. Весь отрезок — 5. Значит, радиус синей окружности
5-3 = 2

А квадрат радиуса, в таком случае, 4. Квадрат радиуса по уравнению — a².

a² = 4
a = ±2

Первый случай решили. Давайте второй. Сразу с треугольником

В данном случае, этот отрезок равен разности радиуса синей и радиуса красной. И радиус синей в таком случае мы будем считать как сумму гипотенузы фиолетового треугольника и радиуса красной окружности.

Радиус красной окружности по-прежнему 3.

Гипотенузу будем считать по теореме Пифагора, катеты в треугольнике равны 7 и 4.
49+16 = 65

Значит, гипотенуза тут — √65.

Ну а радиус — 3+√65.
a = ±(3+√65)

Задачу решили.

Ответ: ±2, ±(3+√65)

Ещё от Никиты. Разве не прелесть? Решение, кстати, тоже мне написал Никита, и оно поистине гениально.

Он предлагает ввести замену
sinx = u
cosx = v

Надеюсь, ни для кого не секрет, что
sin²x + cos²x = 1

Отталкиваясь от этого получим систему

2u + v = a
u² + v² = 1

Заебато. Ну и ещё у нас введены ограничения:
π/4 ≤ x ≤ 3π/4

Подставляя это неравенство в синус и косинус (лучше смотреть по тригонометрической окружности), получим, что
√2/2 ≤ u ≤ 1
-√2/2 ≤ v ≤ √2/2

Ну и введём свою систему координат, в которой вместо оси OX ось OU, а вместо оси OY ось OV.

Итак, окончательная система со всеми ограничениями:

√2/2 ≤ u ≤ 1
-√2/2 ≤ v ≤ √2/2
v = -2u + a
u² + v² = 1

Первое уравнение это прямая. Точнее, набор параллельных прямых, зависящий от a. Второе - очевидная окружность

Синяя область — ограничения неравенствами.
Фиолетовая окружность — окружность.
Чёрная прямая - один из вариантов прямой с параметром а.

Если мы мысленно проведём чёрную прямую вдоль окружности вниз-вверх, то поймём, что одно решение она имеет в любом положении начиная с момента, когда она проходит через нижний левый уголок синей области и заканчивая тем, когда она проходит через верхний левый угол, причём второе не включительно.

Затем при поднятии она будет иметь два пересечения до тех пор, пока не будет касаться окружности. В момент касания будет одно решение, а затем 0.

С первым легко. Нижний левый угол ограничений это
u = √2/2
v = -√2/2

Подставим в прямую. Получим
-√2/2 = -√2 + a
a = √2/2

Верхний левый угол это
u = √2/2
v = √2/2

√2/2 = -√2 + a
a = 3√2/2

Ну и касание. Тут сложнее.

u² + v² = 1
v = -2u + a

Вместо v подставим это выражение. Получим:

u² + (-2u+a)² = 1
u² + 4u² -4au + a² = 1
5u² - 4au + a² - 1 = 0

D = 16a² - 20(a²-1) =
16a² - 20a² + 20 =
20 - 4a²

Это точка касание, значит уравнение имеет одно решение, значит дискриминант равен нулю

20 - 4a² = 0
5 - a² = 0
a² = 5
a = ±√5

Мы получили два значения a. Но a = -√5 соответствует другой прямой:

А нам нужна эта:

Поэтому берём
a = √5

Ну вот и всё, мы решили.

Ответ: a € [√2/2; 3√2/2] U {√5}

Ещё одно Никитино.

Смотрим. Видим, что ничего не видим. Видим, что тут нет ни одного игрека. А значит мы можем построить график в координатах ХОА, если нужно.

Но пока не особо понятно, нужно ли. Да и что строить. Однако мы можем заметить ещё, что а тут встречается всего единожды. Значит его легко выразить через икс. Так и сделаем.

x³+4x²-ax+6 = 0
ax = x³+4x²+6
a = (x³+4x²+6)/x

До сих пор не очень-то понятно, как такое строить. Но есть одна важная вещь. В знаменателе стоит икс, а это значит, что при приближении к х=0 наша функция не завися ни от чего сделает так:

То есть возьмёт, улетит к -бесконечности и упадёт из +бесконечности. Функции любят так делать.

Чтобы ещё немного исследовать нашу функцию, давайте возьмём от неё производную.

a = (x³+4x²+6)/x
a = x² + 4x + 6/x
a' = 2x + 4 - 6/x²

Вообще-то не совсем корректно писать a'. Ведь a — параметр, то есть число, а производная от числа всегда равно 0. Следует уточнить, что в данном случае a рассматривается как функция от икс.

a' = (2x³+4x²-6)/x²

Давайте найдём нули производной.
(2x³+4x²-6)/x² = 0
2x³+4x²-6 = 0
x³+2x²-3 = 0

Заметим, что это уравнение верно при х = 1. Вынесем x - 1 за скобки. Для этого надо поделить его столбиком. Но в статье это сделать сложно а тетрадка так далеко. Ну делать нечего, протяну руку, возьму её.

Итак, продолжим.

x³+2x²-3 = 0
(x-1)(x²+3x+3) = 0

Ну а теперь посмотрим на вот это вот квадратное уравнение

x²+3x+3 = 0
D = 9 - 12 < 0

Вот и заебись. Значит, единственный нуль производной — х = 1. Поскольку у производной знак у наивысшей степени — плюс, это точка минимума.

Теперь перейдём к самое функции. Мы знаем, что это функция ёбнется в бездну перед х = 0, ёбнится из космоса сразу после х = 0, и упадёт в ямку при
х = 1.

Этого нам достаточно, чтобы построить нашу функцию из говна из палок, и решить задачу.

Именно вот этой схемы из палок нам достаточно, чтобы решить задачу. На самом же деле эта функция выглядит намного более въёбищно.

Работать предлагаю с палками, чтобы по-честному. Конечно, палки можно закруглить, но в десмосе, где я строю графики для статьи, на это придётся потратить время, а смысла от этого не будет.

Нам нужно, чтобы первоначальное выражение имело единственное решение на промежутке от -2 до 2 включительно. Вырежем этот промежуток.

Ну а теперь. В чём смысл всего происходящего? Нам нужны такие а, для которых есть несколько х. То есть мы мысленно проводим прямую и смотрим, сколько у нас тут пересечений с графиком.

Но мы должны понимать, что наш рисунок просто схема, и настоящий график может отличаться. Единственное, что мы предусмотрели — это разрыв в точке ноль и минимум при х = 1. Остальное просто так нарисовалось.

Так или иначе, мы понимаем, что нам подходят любые а от минус бесконечности, до некоторого значения. Это некоторое значение есть а либо при х = -2, либо при х = 1. Зависит от того, что ниже.

А мы не знаем, что ниже. Это просто на схеме получилось, что х = -2 ниже, но нет гарантии, что оно ниже на самом деле. Поэтому мы должны просто сравнить, какое а меньше.

a = (x³+4x²+6)/x

x = -2 =>
a = (-8 + 4*4 + 6)/(-2) =
(14)/(-2) = -7

x = 1 =>
a = (1+4+6)/1 =
11

Ну, 11 больше -7. Значит, наша схема верна. Значит, любые
a ≤ -7 нам подходят

Но это не всё. Раз наша схема верна, то в точке 1 значение а нам тоже подходит.

А мы его, кстати, уже нашли. a = 11.

При любых a ниже прямая попадёт в дырку и решений на промежутке не будет. При любых а выше решения будет два. Но не совсем. Если поднять a выше, чем x = 2, будет одно решение.

x = 2
a = (8 + 4*4 + 6)/2 =
15

Ответ: a € (-inf; -7] U (15; +inf) U {11}

Это была задача о том, как построить неизвестную функцию из говна и палок. Ну и ещё эта задача о том, как работать с кубическими уравнениями. Если бы такое попалось в квадратном уравнении, мы бы решали совсем иначе. Если в уравнении четвёртой степени — точно также

Ну это так, расслабиться. Наверное.

Сразу заметим, что
x > 0
x < 3a

И ещё можно на всякий случай заметить, что 2а это сумма корней, то есть положительных чисел, то есть
a > 0

Хотя это было понятно ещё из тех условий, что я записал первыми, чего-то я затупил.

Вообще я когда вижу вот такие корни, мне сразу хочется ввести тригонометрическую замену. Но тут, наверное, лучше без этого.

В общем-то, почему бы и нет? Тригонометрическая замена — лучшее, что подарила нам математика.

Пусть x = 3a*sin²t. ОДЗ это целиком и полностью удовлетворяет

Тогда получим:

√(3a*sin²t) + √(3a(1 - sin²t)) = 2a
sint√3a + cost√3a = 2a
sint + cost = 2a/√3a
sint + cost = 2a√3a/3a
sint + cost = 2√3a / 3

Ого, это ведь то, чем мы занимались пару задач назад. Вспомним о том, что
sin²t + cos²t = 1

И введём замену, как в старые добрые времена,
u = sint
v = cost

Ну и решать как уравнение прямой + уравнение окружности. Никаких проблем, но давайте всё-таки пойдём по другому пути.

Начнём всё с чистого листа, оставив только условия, связанные с иксом:
x > 0
x < 3a

Ну а теперь запишем изначальное уравнение и будем работать с ним.

√x + √(3a - x) = 2a
(√x + √(3a - x))² = 4a²
x + 3a-x + 2√(3ax-x²) = 4a²
2√(3ax-x²) = 4a²-3a
(2√(3ax-x²))² = (4a²-3a)²
4*3ax - 4*x² = a²(4a-3)²
4x² - 12ax + a²(4a-3)² = 0

Это квадратное уравнение. Квадратное уравнение не может иметь больше двух решений. Значит, нам нужно смотреть на дискриминант

D = 144a² - 16a²(4a-3)² =
144a² - 16a²(16a²-24a+9) =
144a² - 256a⁴ + 384a³ - 144a² =
128a³(3-2a) > 0
0 < a < 1,5

Так. Теперь, когда мы нашли дискриминант, мы можем найти корни.

Ну а теперь вспоминаем про то, что
0 ≤ x ≤ 3a

И подставляем наши корни. Ну и прежде всего заметим, что корень со знаком плюс больше корня со знаком минус. Это значит, что нам не нужно сравнивать корень со знаком плюс с нулём, и нам не нужно сравнивать корень со знаком минус с 3а. Эти условия всегда будут входить в условие для противоположного знака.

a больше нуля, как нам известно, и корень больше нуля, и поэтому мы имеем право возвести обе части неравенства в квадрат.

Справедливо при любых а, в общем-то.

Теперь второе.

Мне кажется, или мы только что решали то же самое?

Ну значит всё. Единственное ограничение на а это дискриминант. Остальное учлось само собой.

Ответ: 0 < a < 1,5

Ну всё. Я спать. Завтра попытаюсь дописать статью

Это задание мне скидывала моя классная. Поэтому я оформил сам как смог.

Выглядит страшно, но на самом деле оно довольно простое.

В первую очередь, знаменатель нам нужен лишь для того, чтобы обозначить ОДЗ. Знаменатель не может быть равен 0, значит,
x ≠ ±√2

Ещё черпнём ограничений на ОДЗ из корня, который нам дан.
12 - x² ≥ 0
x² ≤ 12
-2√3 ≤ x ≤ 2√3

Запомним на будущее. И запишем первое выражение без него.

Что это такое? Это совокупность двух функций:

√(12-x²) - y = 0 (I)
(x+4)² + (y+4)² - 8(x+4) + x² - y² - 24 = 0 (II)

I — верхняя полуокружность. Я этого не говорил? Давайте покажу.

√(12-x²) - y = 0
y = √(12-x²)
y² = 12 - x²
y² + x² = 12

Почему это не окружность, а полуокружность? Посмотрите на вторую строку. Игрек равен корню, а корень — неотрицательное число. Значит, игрек должен быть не меньше нуля. В результате остаётся лишь половина окружности.

Кстати, обратите внимание, что центр этой окружности находится в начале координат, а радиус — 2√3

Теперь давайте разберёмся, что скрыто под выражением II.

(x+4)² + (y+4)² - 8(x+4) + x² - y² - 24 = 0
x²+8x+16 + y²+8y+16 -8x-32 + x² - y² - 24 = 0
2x²+8y-24 = 0
8y = -2x² +24
4y = -x²+12
y = (12-x²)/4

Это парабола. Причём она пересекает OY именно в точках ±2√3, как и окружность. Вершина параболы [в данном случае нет никаких смещений по оси ОХ, а значит вершина лежит на оси OY] это y = 3, ветви вниз.

Теперь мы можем легко построить график.

Он выглядит примерно так.

Теперь перейдём к
y = 1-2a

Это прямая, параллельная оси ОХ. Сейчас мы будем её поднимать и опускать.

И да, давайте, чтобы не забыть, что
x ≠ ±√2, проведём эти линии

Зелёные линии — x = ±√2
Фиолетовая линия — y = 1-2a

Фиолетовую мы можем мысленно двигать. Там, где зелёные прямые пересекают красные круг и параболу, точки выбиты. Так что решениями это не считается.

Ну и всё, давайте двигать фиолетовую линию. При отрицательных игреках решений нет. При
y = 0
ровно два решения, что нам и нужно. То есть
0 = 1-2a
2a = 1
a = 0,5

Дальше, вплоть до первого пересечения с зелёными линиями, будет четыре решения. В пересечении параболы с зелёными линиями — 2 решения.
x = ±√2
y = (12-x²)/4
y = (12-2)/4
y = 2,5
2,5 = 1-2a
2a = -1,5
a = -0,75

Когда фиолетовая линия касается вершины параболы — 3 решения. Но выше этой точки всегда будет 2 решения. Вплоть до верхней точки окружности. Ну и ещё нам нужно исключить случай, когда зелёные линии пересекают окружность.

Вершина параболы — y = 3.
3 = 1-2a
2a = -2
a = -1

Верхняя точка окружности — y = 2√3
2√3 = 1 - 2a
2a = 1-2√3
a = (1-2√3)/2

Зелёные палочки касаются окружности:
x = ±√2
y = √(12-x²)
y = √10
√10 = 1-2a
2a = 1 - √10
a = (1-√10)/2

Обобщая всё это, запишем ответ.

Тоже от классной. Прекрасная система с тремя переменными. Надо разбираться

Ну вообще первым уравнением задаётся сплюснутый цилиндр, кому интересно. Но тут всё решается, к сожалению, без графиков.

x + y + 2z = 4x² + y²
2z = 4x²-x + y²-y
z = 2x²-x/2 + y²/2 - y/2
3z = 6x²-3x/2 + 3y²/2 - 3y/2

Подставим во второе уравнение

2x + y + 6x²-3x/2+3y²/2-3y/2 = a
6x² + x/2 + 3y²/2 - y/2 = a

Похоже на окружность, да?

x² + x/12 + y²/4 - y/12 = a/6
(x+1/24)² - (1/24)² + ¼(y-1/6)² - (1/12)² = a/6
(x+1/24)² + ¼(y-1/6)² = a/6 + (1/24)² + (1/12)²

Это уравнение задаёт эллипс. Как окружность, только сплюснутая. Уравнение практически ничем не отличается, и у эллипса тоже есть радиус. И единственное решение может быть только у эллипса радиусом 0. Значит,

a/6 + (1/24)² + (1/12)² = 0
a/6 = -1/(4*4*6*6) - 1/(2*2*6*6)
a = -1/(4*4*6) - 1/(2*2*6)
a = -1/(4*4*6) - 1/(4*6)
a = -1/(4*4*6) - 4/(4*4*6)
a = -5/(4*4*6)
a = -5/96

Ответ: a = -5/96

Эта задача о том, что не нужно бояться трёх переменных

Ну что хочу сказать, всем спасибо, удачи там с параметрами на экзамене. Надеюсь, мне хватит сил написать разборы по другим заданиям