Я ебанулся и придумал систему счисления

Всем привет, это я. Тот я, который я и которого вы хорошо знаете, потому что до недавнего времени статьи никто другой и не писал. Не знаю, что нашло на всех этих людей, но они стали писать статьи и скидывать мне. Я подумал, нахер мне их статьи, и дал им всем статус редактора, чтобы они сами их публиковали — мне лень.

Я вроде обещал вам разбор по параметрам или по геометрии, но это не разбор параметров и геометрии. Это даже не диффуры. Это НАМНОГО важнее.

Да будет вам известно — любое число представимо в виде суммы в худшем случае четырёх квадратов. Это кто-то доказал, но я не помню кто. Да и похер. Намного важнее сам факт.

Я подумал, и решил, что это гениальная основа для системы счисления. Ну или, скорее, формы записи чисел. Что если взять и сказать, что число равно сумме квадратов цифр. Не в десятичной системе, а в некоторой другой и, причём, всегда. Ну, то есть

1110 = 1²+1²+1²+0²
2110 = 2²+1²+1²+0²

Ну и так далее. Вот только непонятно, как записывать числа, когда цифры закончатся.

В смысле, как записать 325 четырьмя цифрами? Конечно, мы можем перейти от десятичных цифр к буквам но это очень неудобно и бессмысленно.

Поэтому я принял тяжёлое для себя решение — следует отказаться от идеи четырёх квадратов и перейти к идее необходимого количества квадратов от десятичных цифр.

Мы посчитали это приемлемым. Так появилась наша, а может, моя собственная форма записи чисел. Мы назвали её Мынкинская квадратичная. Если быть точнее, Мынкинская квадратичная, основанная на десятичной. Чтобы переводить числа из десятичной системы в Мынкинскую, мы решили обозначать её буквой [M]. То есть,

10[10] = 31[M]
25[10] = 5[M]

Однако понятно, что число 405 можно записать в Мынкинской только как 99999. А для чисел больше понадобятся миллиарды цифр. Чтобы немного сократить запись, мы решили ввести разделитель-точку. Точка означает, что все цифры до неё рассматриваются как умноженные на 10. Ну, например

541.421 = 50²+40²+10²+4²+2²+1²

Здорово. Аналогично — двойная точка соответствует умножению на 100, тройная точка — на 1000 и так далее.

1.1.1 = 100²+10²+1²

Продолжая рассуждать, сталкиваемся с ещё несколькими проблемами.

5 = 43 = 34 = 4221

Как тут поступить? Короче, мы ввели несколько правил:

1. Цифры в числе записываются в порядке невозрастания. {Например, 21 предпочтительнее 12}
2. Если одно и то же число можно записать несколькими способами, классическим считается тот, в котором меньше всего знаков. Точка знаком не считается {Например, 5 предпочтительнее 43}
3. Если одно и то же число можно записать несколькими способами с одинаковым количеством знаков, выбирается тот вариант, в котором первая цифра больше. Если первые цифры совпадают, то выбирается тот вариант, в котором вторая цифра больше. Так продолжается до тех пор, пока не будет выбран наилучший вариант. {Например, 8871 лучше, чем 8855}

На этом, вроде бы, правила заканчиваются. Однако далеко не всегда можно сразу найти наилучший вариант. Чтобы было проще, мы составили «Справочник основных преобразований в Мынкинской квадратичной системе. Глава 1. Равносильные сочетания цифр»

На самом деле, мы его так не называли, но почему бы не сделать это сейчас?

1 of 4

Используя эти преобразования, можно упростить любое число в Мынкинской системе.

Например,

85544442222211 =
88552222211 =
88554211 =
885621211 =
886522111 =
1.8522111 =
1.85311 =
1.86 =
11.

Возможно, вам это кажется диким, но я уже привык.

А теперь самое интересное.

Сложение в Мынкинской системе.

Складывать в Мынкинской очень просто. Все числа, написанные мной в этой статье дальше будут в квадратичной системе, если я не напишу, что это десятичная.

Возьмём 88 и 66. И сложим

88 + 66 = 8866 = 11.

Ну и ещё пара примеров.

71+55 = 7155 = 5555 = 1.

1.751 + 43.7 =
431.7751 = 51.7751 =
51.7555 = 51.5555422 =
511.422

Всё легко.

Вычитание в Мынкинской системе.

Вычитать тоже легко. Ну, например:

971 - 222 =
971 - 3111 =
97 - 311 =
7663 - 311 =
766 - 11 =
763333 - 11 =
76333221 - 11 =
7633322 - 1 =
763322221 - 1 =
76332222 =
76433 =
7653 =
9611

Возможно, есть более красивое представление, но я не вижу.

Ну и ещё пример:

1. - 751 = 5555 - 555 = 5

Умножение по-мынкински.

Тут всё сложнее, но тоже терпимо. В общем-то,

3*111 = 333
3*333 = 999
11*11 = 1111 = 2
11*91 = 9911 и т.п.

И так далее. С большими числами сложнее. Очень важно знать ещё, что
5*2 = 1.

11.521*11.521 =
11.*11. + 11.*521 + 11.*521 + 521*521 =
1111.. + 2.*521 + 521*521 =
2.. + 2.*5 + 2.*21 + 521*5 + 521*21 =
2.. + 1.. + 42. + 5*5 + 2*5 + 1*5 + 5*2 + 5*1 + 21*21 =
21.42. + 5*43 + 1. + 5 + 1. + 5 + 42 + 21 =
21.42. + 5*4221 + 11.55 + 4221 =
21.4211.55 + 4221 + 5*4 + 5*2 + 5*2 + 5*1 =
21.4211.55 + 43 + 5*2*2 + 1. + 1. + 5 =
21.4211.55 + 5 + 1.*2 + 11.5 =
21.4211.55 + 11.55 + 2. =
21.4221111.5555 =
21.43111.5555 =
21.431111. =
21.432. =
21.52.

Очень важно не терять точки. Ну и да, тут всё очень приятно раскладывается как произведение многочленов. По-хорошему, выучить несколько произведений наизусть, как вы это делали в десятичной системе, и любое произведение дастся без труда.

Деление не выходя из системы.

Это уже сложно. Ну, впрочем, очевидно, что
22/11 = 2*11/11 = 2
3/333 = 3/3*111 = 1/111
6/11 = 3333/11 = 3*1111/11 = 3*11*11/11 = 33

Но что, если уходить дальше?

В десятичной системе 91/13 = 7. Посчитаем в Мынкинской.
931/32

Особо вынести мы ничего не можем, но зато можем увидеть, что
32*3 = 96 > 931

Значит результат деления будет меньше, чем 3.

32*2 = 64 < 931

Значит, 931/32 > 2

В общем-то, мы можем вынести 2.

931 - 64 = 66331 - 64 =
6331 - 4 = 62222111 - 4 =
64111 - 4 =
6111

Выходит, что
931/32 = 2 + 6111/32

Теперь можно провести аналогичные преобразования, вычитая из 6111 число 32 столько раз, сколько нужно. Или попробовать преобразовать.

6111/32 = 3333111/32 =
333221111/32 = 333222/32 =
111*32/32 = 111

Выходит, ответ 2111. Долго, муторно, но, в общем-то, весьма приятно.

Сравнение чисел в системе.

71 = 55

Выходит, 56 > 71. И, более того, 56 > 72 и вроде 56 > 73.

И как сравнивать числа в этой тупой Мынкинской? Ведь в делении нужно сравнивать числа. Проще всего это делать по тому же принципу, что и вычитание.

56 > 73
56 > 7221
56 > 5522
6 > 522
3333 > 522
333221 > 522
3331 > 5
32222111 > 5
43111 > 5
5111 > 5

Таким образом, мы не только доказали, что 56 > 73, но и вычислили, насколько. Это дорогого стоит.

Определение чётности числа и его «последней цифры»

Возьмём число 11.531

Сразу видно, что число нечётное по тому, что в нём 3 нечётные цифры после точки. А какая у него последняя цифра в десятичной системе?

Ну, не думаю, что для кого-то секрет, что 31[M] = 10[10]. Поэтому 31 имеет значение в Мынкинской, как минимум потому что 31*31 = 1.

Так вот мы просто берём все цифры числа после точки и вычитаем из неё всё, что кратно 31. То есть 31, 3311, 333111, 62, 6622 и так далее.

531 — 31 = 5

5 можно ещё уменьшить, но мы не будем, потому что 5 — последняя цифра в Мынкинской системе.

Вычисление квадратного корня в Мынкинской.

А вот это уже интересно.

Всё опирается на формулу квадрата разности.

В смысле, (a+b)² = a²+2ab+b²

Мы называем этот метод abbc. Суть в том, что если число удалось представить в виде

a + b + b + c, то, скорее всего,
√(a + b + b + c) = √a + √c

a и с однозначные, если что.

Для маленьких чисел это работает почти всегда.

Ну, например,
1.421 = 1.33111 = 1. + 31 + 31 + 1

Мы предполагаем, что
√1.421 = √1. + √1 = 31 + 1 = 311

Чтобы это проверить, нужно доказать, что
√a*√c = b

В нашем случае,
31*1 = 31

Так что всё верно.

Чем больше число, тем меньше шанс, что это сработает просто так, без нашего участия. А когда появляется вторая точка, abbc превращается в abcdd. Потому что
(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2ac+2bc =
a²+b²+c² + 2(ab+ac+bc)

Так вот, в числе с двумя точками нам нужны три числа — a b c, где a имеет две точки, b имеет одну точку, c не имеет точек.

Ах, да, совсем забыл. Чтобы считать корни, мы составили «Глава 2. Квадраты однозначных»

Ну рассмотрим такое число.
3211.321.8222

Я вам гарантирую, что это квадрат.

Первое и самое важное.
а это первая цифра в числе. Но наибольшая из возможных во всех представлениях. Например, если бы у нас было
222, а не 3211, то мы бы записали
222 = 3111, и уже после этого бы взяли

a = 3..

Ну а у нас 3211.., сразу записанное в благоприятном для нас виде. Какие бы преобразования мы не проводили дальше, цифра 3.. в числе должна оставаться.

a = 3..

Теперь удобнее всего определить c. Для этого найдём «последнюю цифру».

8222 = 4444222 =
662

Спокойно убираем 62 как кратное 31. Получаем 6.

Это значит, что c = 6 или 4

Надеюсь, не нужно объяснять это или. Если нужно, пишите в комменты.

Итак, осталось b. Увы, находить b я пока не научился, но, смею вас уверить, в десятичной системе это делается очень просто. Так или иначе, сейчас нам нужно получить из данного нам числа число типа abcdd, так, чтобы первая цифра была 3, а последняя 4 или 6.

А, кстати, любую чётную цифру можно расписать на чётное количество других цифр. А любые цифры с точками уже являются чётными. Так что их можно и не расписывать

3211.321.8222 =
3211.321.444222 =
3211.321.6422

Ну вот так. Мы оставили справа 6, слева 3, а по середине у нас имеется три цифры. Чтобы примерно оценить своё положение, возьмём в качестве b — число 3. и выразим d+d.

d+d = a+b+c+d+d - a - b - c

Думаю, это очевидно.

3211.321.6422 - 3.3.6 =
211.21.422

А теперь нам надо разделить это число на два. В нашей системе это 11.

211.21.422/11 =
111111.1111.5555222222/11 =
111.11.55222

Всё, теперь нам нужно сравнить, насколько это число отличается от того, которое должно быть.

√a*√b + √a*√c + √b*√c =? d
√3..*√3. + √3..*√6 + √3.*√6 =? 111.11.55222
111.*521 + 111.*211 + 521*211 =? 111.11.55222
555222111. + 222111111. + 5*211 + 21*211 =? 111.11.55222
5553211. + 411. + 1.55 + 422211 =? 111.11.55222
55543211111.55422211 =? 111.11.55222
555533.55422211 =? 111.11.55222
1.33.55422211 =? 111.11.55222
33.411 =? 11.11.
3221.411 =? 11.11.
322.411 =? 11.1.
22221.411 =? 11.1.
4.411 =? 11..
4.411 < 11..

Дальше вычислять нет смысла, тут видно, что d оказался больше, чем должен. Причём значительно — число справа имеет две точки.

Увеличение a невозможно, так как оно у нас и так максимально большое. Увеличение c тоже, к слову, невозможно, так как 6 > 4. Да и увеличение с не даст нам нужного результата в борьбе с двумя точками.
Остаётся увеличивать b. Займём цифры из разряда двух точек.

3211.321.8222 =
3211.321.6422 =
321.5555321.6422 =
321.7732111.6422 =
321.772222.6422 =
321.774.6422

Как насчёт того, чтобы взять b = 7?

Ищем d.

21.74.422/11 =
21.81.422/11 =
1111.55554444.5555222222/11 =
11.5544.55222 =
11.7441.732 =
11.8411.732 =
11.833.732

Не знаю, зачем я это упрощал, всё равно расписывать.

√a*√b + √a*√c + √b*√c =? d
√3..*√7. + √3..*√6 + √7.*√6 =? 11.833.732
111.*8211 + 111.*211 + 8211*211 =? 11.833.732
888222111111. + 222111111. + 4444211*211 =? 11.833.732
888222211. + 222211. + 8888422 + 44444444221111 =? 11.833.732
888411. + 411. + 8884444422 + 8662 =? 11.833.732
888442. + 888664 + 1.62 =? 11.833.732
8886. + 11.84 + 1.62 =? 11.833.732
1.88. + 111.8642 =? 11.833.732
1.88. + 1111.42 =? 11.833.732
1.882.42 =? 11.833.732
82.4 =? 1.33.73
82.4 =? 886633.73
2.4 =? 983.73

Ну тут уже прям видно, что число справа больше. Если честно, я хз, где я ошибся, и искать не хочу, но 3, 7 и 6 подходят. Для этого предлагаю проверить иначе.

√3.. + √7. + √6. =? √321.774.6422
111. + 8211 + 211 =? √321.774.6422
111.8221111 =? √321.774.6422
111.8222 =? √321.774.6422
111.8222*111.8222 =? 321.774.6422
111.*111. + 11*111.*8222 + 8222*8222 =?
3.. + 11*888222222222. + 2*2*4111*4111 =?
3.. + 11*888442. + 4*4111*2222111 =?
3.. + 11*8886. + 4*88884444443 =?
3.. + 11*1.88. + 4*8888854 =?
3.. + 11.8888. + 4*888866522 =?
311.8888. + 4*11.88522 =?
311.8888. + 4*11.865442 =?
311.8888. + 4*111.5442 =?
311.8888. + 4*111.5 + 4*222222222 =?
311.8888. + 4442. + 888888888 =?
311.88884442.888888888 =?
311.888864.888888884444 =?
3111.8884.88886666666622222222 =?
3111.886622.88886666666644 =?
311111.221111.666644 =?
321.222.6655551111 =?
321.2221.662 =?
321.32.662 ≠ 321.774.6422

Говно какое-то, и, признаюсь, я устал. Уверяю вас, это работает, просто я где-то ошибся.

Нерешённые вопросы системы

Ну, во-первых, если с квадратными корнями ещё можно как-то бороться, то к корнями третьей степени и больше совершенная абсолютная жопа.

Не очень понятно, как работать с логарифмами, потому что не очень понятно, как работать с делением и умножением, хотя, в принципе, всё довольно неплохо и, возможно, придёт с опытом.

Возведение в степень — сложно. Хотя должны быть какие-то прикольные свойства, до которых мы ещё не дошли.

Куда можно двигаться

Во-первых, наравне с Мынкинской квадратичной формой записи чисел по основанию десять можно использовать Мынкинскую квадратичную по любому другому основанию.

Также можно использовать, скажем, Мынкинскую кубическую или Мынкинскую четвёртой степени. Они будут очень громоздкими, но должны отличаться интересными свойствами. Кстати, по факту, обычную десятичную систему счисления можно тоже считать Мынкинской формой записи — если между каждым разрядом поставить точки.

Ну и ещё. Мы там основали товарищество хранителей математического безумия: я, Никита — тот, что пишет статьи в телеграмме, Омоним — тот, что писал статью про факториалы и собирается писать ещё, Кирилл — тот, что скидывал мне задачи от blackpenredpen, Алексей — тот, с которым мы вместе решали интегралы и Павел — очень крутой математик, хотя вообще он физик-теоретик {не менее крутой}

Так вот, с Мынкинской системой помогали они все, в особенности Кирилл и Никита, и они предложили ещё формы. Например, система, в которой каждая чётная по счёту цифра — квадрат, а каждая нечётная — просто число. Это тоже весьма интересная система.

Итог

Вообще это всё планировалось как математический эксперимент, но он превзошёл все ожидания. Я не ожидал, что в нём в принципе будет возможность вычитать, умножать и делить. Да и корни, я считаю, находить не сильно сложнее, чем в десятичной.

Конечно, любые вычисления в этой системе сложнее, чем в десятичной, и дольше, но система работает! А это значит, что мы молодцы.