Арифметические прогрессии высших порядков 2.0

Казалось бы, арифметические прогрессии — тема девятого класса, что тут можно дванолить? А вот нет. Сегодня мы делаем максимальный упор на прогрессии высших порядков. И это одновременно и просто, и нихуя не просто.

Итак, напоминаю,
1 5 9 13 17 21… — арифметическая прогрессия первого порядка, потому что
5-1 = 9-5 = 13-9…

1 5 10 16 23 31… — арифметическая прогрессия второго порядка, потому что
31-23 = 23-16+1 = 16-10+2 = 10-5+3…

То есть, разности прогрессии второго порядка образую прогрессию первого порядка:
4 5 6 7 8

Аналогично можно ввести более высокие прогрессии — третьего порядка — её разности образуют прогрессию второго порядка, четвёртого порядка — её разности образуют прогрессию третьего порядка, и любую другую прогрессию.

И ещё введём прогрессию нулевого порядка:
7 7 7 7 7…

И последовательность нулей:
0 0 0 0 0…

Назовём её архипрогрессией.

Самым знаменитым примером прогрессий высших порядков являются последовательности степеней. Например,
1 2 3 4 5 — прогрессия первого порядка
1 4 9 16 25 — прогрессия второго порядка
1 8 27 64 125 — прогрессия третьего порядка

Вы легко можете это проверить. Вообще, арифметические прогрессии очень близки степеням. Последовательность разностей прогрессии сродни производной таких функций.

Давайте возьмём прогрессию третьего порядка:

1 5 12 24…

Что нам нужно для того, чтобы найти её последующие члены? В первую очередь, нужно всё-таки знать, что это прогрессия третьего порядка. Мы знаем, потому что я это сказал.

Но если обобщать: нужно знать порядок прогрессии.

На основе данных нам четырёх членов, мы можем составить последовательности разностей. Вот так:

1 5 12 24
4 7 12
3 5
2

Раз мы знаем, что это прогрессия третьего порядка, то делаем вывод, что в последней строке у нас прогрессия нулевого порядка — последовательность двоек. Эту последовательность мы можем продолжить вправо:

2 2 2 2 2

Предпоследняя строка — прогрессия первого порядка с разностью 2 и с первым членом 3. Значит, любой другой член будет больше предыдущего на 2:

3 5 7 9 11 13
2 2 2 2 2

На основе этой прогрессии мы можем продолжить вторую строку вправо.

4 7 12 19 28 39 52
3 5 7 . 9 . 11 13
2 2 2 . 2 . 2

Точки я поставил просто чтобы выровнять таблицу. Обратите внимание: каждое последующее число равно сумме предыдущего с числом под ним. Это справедливо для всех строк. Используя полученную нам прогрессию, можем продолжить первоначальную до восьмого члена:

1 5 12 24 43 71 110 162
4 7 12 19 28 39 52
3 5 7 . 9 . 11 13
2 2 2 . 2 . 2

Продолжая наши последовательности тем же образом, получим ещё больше членов. Тут же все любят члены, да?

Но давайте подумаем, что нам действительно нужно знать, чтобы строить вот такие вот таблички.

Мы отталкивались от последней строки, а в последней строке у нас было только одно число — 2. Значит, нам нужно знать первый член последней строки.

В предпоследней строке мы просто прибавляли везде 2, но с самого начала у нас было 3 — которое к 2 никак не относится. Значит, мы должны знать первый член предпоследней строки.

Аналогично придём к выводу, что нам нужно знать первые члены всех остальных строк. И больше ничего. То есть, чтобы строить таблицу, нам достаточно знать всего 4 числа.

Все числа в красной рамочке — побочные. Зачем мы их ищем — непонятно. Но других методов мы не знаем. Ведь так?

Теперь давайте заметим, что n-й член в строке равен сумме первого члена в этой строке со всеми членами строки ниже вплоть до (n-1)-го члена. Например,

24 = 1 + 4+7+12

А мы знаем формулу суммы прогрессии первого порядка.

Значит, n-й член прогрессии второго порядка равен

А теперь, для удобства, будем нумеровать члены с нуля:

А теперь давайте запишем это немного в другом виде, хотя этот вид совсем не очевиден

А теперь то же самое, только более компактно

И тут уже всё видно, да? Ну, как считать элементы прогрессий более высоких порядков.

Вот такая красивая формула. Давайте тоже запишем её компактно.

Поистине это самое прекрасное из всего, что я делал.

Эту формулу мы вывели довольно легко из аналогии с прогрессиями меньших порядков. Честно, я не знаю, как доказать эту формулу. Но я придумал алгоритм, из которого становится очевидно, что формула работает.

Давайте возьмём прогрессию, с которой мы работали изначально:
1 5 12 24 43

И выпишем все её разности. Вот так:

А теперь возьмём и отформатируем её по правому краю.

Теперь каждый член в «треугольнике» равен сумме левого и нижнего. Это очевидно из свойств прогрессий — если 2 — разность 5 и 3, то
5 = 3+2

Логично. Теперь я предлагаю вам вспомнить о прекраснейшем творении мира — треугольнике Паскаля.

Хочу обратить ваше внимание, что треугольник Паскаля целиком состоит из арифметических прогрессий. Посмотрите, например, на зелёную линию. Спасибо авторам картинки, за то что они эту линию выделили.

Так вот если мы повернём треугольник Паскаля на 135 градусов или около того, то получим что-то такое:

Слегка обрежем

Получилось нечто отдалённо похожее на наш треугольник. При этом это всё ещё треугольник Паскаля. А любой член треугольника Паскаля можно рассчитать как биномиальный коэффициент. Это очень удобно.

Вернёмся к нашему

И снова к Паскальному

Похоже, да? Давайте умножим каждый член из треугольника Паскаля на 2.

А теперь возьмём и вычтем получившийся треугольник из нашего. То есть, каждый отдельный член из получившегося вычтем из соответствующего ему члена в первоначальном.

Что же у нас вышло? Мы получили какую-то хуйню! Но порядок наивысшей прогрессии в треугольнике у нас уменьшился. Мы получили более простой треугольник.

Аналогично найдём для него соответствующий элемент из треугольника Паскаля:

И снова каждый член находится как биномиальный коэффициент. Домножим этот треугольник на -3.

И снова вычтем из нашего:

Ура, ещё минус один порядок. Таким образом, обнуляя по порядку ряды в треугольнике, мы получим вот такую штуку:

Вот. Ну а каждый отдельный член в скобках справа — какой-то биномиальный коэффициент. По логике, вместо вот этих 2, -3, 4, -2 должны были быть самые первые наши разности, то есть 2, 3, 4, 1. Почему вышло иначе? Наверное, мы взяли немного другие треугольники Паскаля, точнее, немного не те куски.

Но из алгоритма мы видим, что биномиальные коэффициенты действительно возникают. И если немного подогнать схему, то мы получим ту формулу, что у нас получилась чуть выше. О, кажется, придумал

Всё, теперь в точности наша формула. Думаю, внимательно всмотревшись, вы поймёте, что я сделал.

То есть, каждому элементу из правой таблицы соответствует сумма элементов в той же позиции из каждой таблицы справа.

Теперь двигаемся дальше. Давайте возьмём такую прогрессию:

Слегка необычно, да? Я даже не буду придумывать этой прогрессии порядок. Просто это прогрессия. Найдём её разность. Строки ниже мы будем обозначать с помощью букв b, c, d…

Вот так. Теперь давайте выразим все нулевые члены — те члены, что у нас используются в формуле, через члены из первой строки.

Я привёл расчёты. Теперь давайте столбиком выпишем результаты:

Ого это что треугольник Паскаля? Опять?

А ведь действительно это он. Давайте переименуем все эти abcde в тот формат, в котором мы записывали формулу. Напомню, формула у нас выглядела так:

Поэтому перепишем мы вот так:

А теперь запишем то, что мы заметили, в качестве формулы. В правых частях равенств я скобки писать не стал. Надеюсь, и так понятно, что там везде просто m.

Страшно? Ну, на самом деле, на примерах выше всё понятно.

Давайте докажем, что эта формула верна. Очевидно, что она верна для k = 1. Потому что в разности все коэффициенты единички. База для математической индукции есть.

Предположим, что для некоторого k формула верна. Докажем, что она верна и для k+1. Здесь следует отметить, что в принципе эта формула верна не только для нулевого члена. Она верна для всех:

И при k=1 это работает. Теперь к основной части. Если это работает при конкретном k, то должно работать и при k+1. Докажем:

На этом этапе отметим два свойства, которыми мы будем пользоваться дальше. Первое элементарное:

Второе основано на треугольнике Паскаля. Все же помнят, что в треугольнике Паскаля каждый член равен сумме двух членов над ним? Отсюда свойство:

Используя их, получаем:

Итак. Эта формула верна для конкретного k, например k=1. Если формула верна для какого-то k, то она верна и для k+1. Отсюда делаем вывод, что формула верна при любых натуральных k. Прекрасно

Имеем две формулы:

Теперь подставим во вторую формулу первую:

И для красоты опустим m. У нас теперь везде m. Мы не выходим за границы данной прогрессии, нам не нужно считать её разности.

Формула страшная немного. Но она позволяет находить любой член арифметической прогрессии m-го порядка, зная лишь первые m+1 членов. И эта формула описывает многое. Прям очень многое

Ну и она может упростить какие-то решения. Если знать её, то жизнь становится проще

Вот. Необоснованная реклама закончилась, ну а где пользоваться формулой мне пока что лень придумывать. Лично я нашёл ей применение в своём исследовании. Она помогла мне подвести значимый промежуточный итог

Я, пожалуй, лучше сделаю ещё одну статью потом, порассуждаем о геометрически-арифметической прогрессии. Обещаю, будет ад

Как дела? Всем спокойной ночи, сейчас утро