Немного обо всяком и всё, что не нужно знать о кубужности

Отошлваыитвготмауоштамвышотм ывалошмлаовимлыомтаво мравмт авшоогышмавымтагтм аовзфшгаорпавомтывагошовы дывопрыаволимашвовимлоишфот ф авофлмтшофолмташвгтмшафгз. Гртавгшмотмваромрваи рамимгарф амвфщг.

Пожалуй, это лучший лид в истории паблика. Журналисты меня убьют. Сейчас мы с вами будем страдать хернёй, но обещаю, что херня это абсолютно полезна.

Вы когда-нибудь задумывались, как посчитать длину графика? Если это не прямая. Ну и если не окружность — про окружность и так все знают, как.

Давайте возьмём график какой-нибудь функции. Например,
f(x) = x². Построим

Давайте представим, что мы сильно-сильно-сильно приблизили этот график, и в итоге он выглядит как куча-куча-куча отрезков, соединённых вместе. Я заморочусь такое строить, но вы должны понимать, о чём я.

В общем, в бесконечном приближении кусочек графика функции похож на отрезок. А длину отрезка можно посчитать через теорему Пифагора, так?

Причём в бесконечном приближении проекции отрезка функции на оси будет бесконечно малой, такой же, как и длина самого отрезка. А бесконечно малые части графика можно записывать как дифференциалы.

Если длина этого маленького отрезка — ds, то, по теореме Пифагора,

Теперь давайте вспомним, что
df/dx = f'(x), то есть
df = f'(x)dx

Вообще-то, скорее первое следует из второго, чем второе из первого. Ну, то есть, длина дифференциала функции ровно в f'(x) раз больше, чем длина дифференциала аргумента. В данном случае, вполне уместно говорить, дифференциал это длина бесконечно малой части функции.

Хорошо, вернём к теореме Пифагора. Если df выражается через dx, давайте выразим.

Если ds — бесконечно малая часть длины функции, то интеграл из ds — и есть вся длина. Давайте проинтегрируем левую и правую части.

S — это длина функции на промежутке от a2 до b2. В общем-то, именно то, что нам надо было посчитать. Я просто выкинул b1 и a1, потому что они не несут большого смысла. А ещё они возможно равны b2 и a2, но я не уверен.

Давайте теперь посмотрим. Мы взяли, что
f(x) = x²

Отсюда,
f'(x) = 2x

Найдём длину функции на промежутке от 0 до 4.

Мне лень считать эту херню самому, поэтому вобью её в wolframalpha

Вот что говорит наш друг. Примерно 16,82.

Кстати, данный конкретный интеграл в неопределённом виде даёт ареасинус — функцию, обратную гиперболическому синусу. Я вам про них не рассказывал? Эта функция записывается в виде натурального логарифма из невъебенной хуйни, он ещё называется «длинный логарифм». Нередко встречается в интегралах из подобных функций. Наверное, потому что напрямую связан с площадью гиперболы.

Но я отвлёкся. На промежутке от 0 до 4 у нас получилась длина 16,82. Давайте оценим, может ли быть такое.

Глядя на график, мы понимаем, что его длина на промежутке от 0 до 4 должна быть явно меньше, чем сумма синих отрезков, и точно больше, чем длина зелёной стрелки.

Сумма отрезков это
4+4² = 20

Длина стрелки это гипотенуза в треугольнике со сторонами 4 и 16. Её длина равна корню из 4²+16², что примерно равно 16,49

16,49 < 16,82 < 20

Отсюда делаем вывод, что мы не ошиблись при вычислениях.

А вообще-то лучше нам с вами записать это в виде неопределённого интеграла:

Не знаю, почему я изначально не сделал так. Вы можете подставить функцию, задающую половину окружности, и посмотреть, чему равна её длина.

Но у меня есть предложение получше. Давайте найдём все такие функции, у которых длина функции равна площади под графиком. Площадь под графиком функции это просто интеграл этой функции.

Почему я опустил константы? Потому что площадь и длина функции измеряются на промежутках, то есть с помощью определённых интегралов, а в определённых интегралах константы взаимоуничтожаются.

Я сегодня уже рассказывал вам про ареасинус и про длинный логарифм. Слева у нас получился как раз-таки длинный логарифм, который, в зависимости от знака + или — под корнем может быть равен либо ареасинусу, либо ареакосинусу.

У нас знак минус, значит, это ареакосинус — функция, обратная гиперболическому косинусу.

Но гиперболический косинус, как и обыкновенный косинус — чётная функция. То есть знак ± можно опустить.

Казалось бы, мы всё предусмотрели, но давайте вернёмся к этому этапу:

Я разделил уравнение на корень из y²-1. Но так можно делать только в том случае, когда
y²-1 ≠ 0

Давайте проверим, возможно ли равенство:

y² = 1
y = ±1
y' = 0

Подставим в наше уравнение и получим, что оно верно. Однако теперь нам нужно вернуться ещё выше:

Теперь мы видим, что в действительных числах, y точно больше нуля. Таким образом откидываем
y = -1 как решение, и получаем окончательный ответ.

Для этих функций длина графика равна площади под графиком.

Воооооооот. Прикольности, да?

Разнообразный математический сброд, возглавляемый нематематическим мной, решил от понятия окружности перейти к понятию суперокружности.

Суперокружностью называется любая фигура, задаваемая уравнением

При любых n не меньше нуля. И чтобы различать суперокружности, назовём n показателем суперокружности. Вот, например:

После этого мы пытались обобщить число пи до суперпи, а также определить, что считать радиусом у таких окружностей.

Для начала давайте подумаем, какими какими свойствами обладает число пи в окружности:

1. Это отношение длины окружности к её диаметру
2. Это отношение площади круга к квадрату радиуса

Что такое радиус окружности:

1. Это отрезок, который соединяет центр с точкой на окружности
2. Это херня, которая соединяет центр с точкой на окружности и которая равна по длине любой такой же херне

Первоначально я хотел для каждой суперокружности найти такую кривую, которая удовлетворяла бы второму определению, но понял, что их может быть бесконечно много.

Поэтому давайте посмотрим на длины различных вариантов радиусов по первому определению.

Для примера разберём суперокружность с показателем 3. Мы зовём её кубужностью.

Чтобы видеть, чем она отличается от нормальной окружности с показателем 2, нарисуем и её.

Легко заметить, что чем ближе угол между радиусом и осями к 45 градусам, тем радиус больше. И вообще, увеличивая показатель суперокружности, мы просто тянем её за максимально удалённые от осей координат.

Назовём Большим радиусом радиус, который лежит на любой из чёрных прямых. Будем называть его Большим, даже если он меньше других:

Длину этого радиуса легко найти. Прямая, которая находится под углом 45 градусов к осям, задаётся либо уравнением
у = х, либо
у = -х

Это не имеет значения, в любом случае
|y| = |x|

Наши суперокружности задаются уравнением
|x|ⁿ+|y|ⁿ = 1

Зная, что модуль икса равен модулю игрека, получим
2|x|ⁿ = 1
|x|ⁿ = 0,5
|x| = ⁿ√0,5

Это координата точки, к которой опущен радиус. Её абсолютное значение равно абсолютному значению координаты по игрек. Длина радиуса R может быть рассчитана по теореме Пифагора:

R² = ⁿ√0,25 + ⁿ√0,25
R² = 2ⁿ√0,25
R = √2 * ⁿ√0,5

В конце концов, это

Малым радиусом r назовём такой радиус, который лежит на осях. Его длина всегда 1.

Теперь давайте перейдём к площади суперокружности. В верхней правой части уравнение суперокружности ничем не отличается от уравнения

А остальные три части суперокружности имеют ту же площадь, что и у этой. Тогда давайте найдём площадь четверти суперокружности

Дело за малым: чтобы найти площадь, нужно взять определённый интеграл.

При бесконечно больших n площадь выйдет равна 4. Хотя мы и так знаем, что суперокружность с бесконечно большим показателем — это квадрат со стороной, равной двум малым радиусам, то есть 2.

2*2 = 4.

Аналогично, при показателе равном 1, это квадрат со стороной корень из двух. Значит, площадь любой выпуклой суперокружности находится в пределах от 2 до 4. Причём при увеличении показателя она монотонно возрастает, а для любых супеокружностей, чей показатель не меньше 2, площадь больше 3,14.

То есть функция площади от n изменяется примерно так:

Неопределённый интеграл от этой функции при любых n кроме 1 и 2 мы возьмём едва ли, но определённый интеграл берётся.

Друг-вольфрам говорит, что

Г — это гамма-функция. Обобщения для факториала, только вдобавок ко всему ещё и сдвинутое. Ну, то есть, для целых чисел,
Г(n+1) = Г(n)

А вообще у данной функции есть другое название — бета-функция.

Есть компьютерные способы посчитать гамма-функцию с высокой точностью, поэтому мы легко можем узнать площадь наших прекрасных суперокружностей.

Сложнее дела обстоят с длиной. Длину суперокружностей можно посчитать через тот интеграл, что мы вывели.

По аналогии с площадью, возьмём только четверть длины суперокружности, ту, которую мы можем задать функцией, и умножим на 4:

Теперь давайте найдём производную и запишем формулу длины

Друг-вольфрам тянет и этот интеграл, но выразить его в хоть сколько-то приличном виде у нас не вышло. Тем не менее, я собрал данные и составил табличку. Вот вам для ознакомления:

Можно заметить, что площадь до определённого момента стремится к своему пределу быстрее, чем длина, но между 4 и 5 показателем длина начинает немного догонять площадь. Интересно, что это за число такое между 4 и 5, да?

Интуитивно мы догадываемся, что это что-то связанное с числом Эйлера, хоть и не уверены. А проверять — долго, так как всё нужно вручную вбивать в вольфрам.

Ради интереса я решил перемножить малый радиус и большой и засунуть это под корень n-й степени.

Зачем я это сделал? Не знаю. Что вышло? Ничего очень хорошего, но Странный радиус — так я назвал этот радиус — оказался ближе к 2S/l, чем все другие перебранные мной варианты. А перебрал я много, просто не пишу про них.

Например, я пытался посчитать средний арифметический радиус, используя интегралы, примерно следующим способом. Проведём под некоторым углом t радиус к данной суперокружности. Тогда этот радиус лежит на прямой

С другой стороны, мы знаем, что

Подставим первое во второе

Длину этого радиуса R можно посчитать по теореме Пифагора:

«Сумму» всех этих радиусов можно считать интегралом.

А средний арифметический радиус должен быть в пи четвёртых раз меньше

Казалось бы, всё идеально. Но не идеально. И вообще хуйня. Интуитивная непонятная хуйня.

В результате получилась обширная таблица с 8-ю вариантами обобщений для числа пи, 5-ю вариантами обобщений для радиуса, длиной и площадью.

Что вы с ней будете делать — не знаю. А я просто заканчиваю статью.

Ещё была шаловливая мысль о том, что, возможно, это как-то связано с дзета-функцией Римана, но, похоже, нет.

Дзета-функция Римана от n это сумма:

Слева букавка — это греческая дзета. Очень красивая буква.

Если n = 2, то дзета-функция Римана равна 𝜋²/6. А если в наших суперокружностях показатель равен 2, то площадь и длина суперокружности равны 𝜋. Вот мы и подумали всякого

Кстати, как раз когда я писал статью, мне кинули ссылку на это. Это статья на Википедии про суперэллипсы. Довольно обидно, так как хотелось думать, что такой хернёй до нас никто не страдал.