Интегрирование по частям и ряды

Прежде чем приступать к самому интересному, разберёмся с тем методом, что будем использовать. А будем мы использовать «улучшенный» метод интегрирования по частям.

Сперва запишем известную каждому третьекласснику формулу:

Давайте немного её доработаем для случая произведения двух функций в подынтегральном выражении:

где

А теперь внимательно посмотрите на нижеприведенную таблицу:

Как вы заметили, умножать будем по «змейке», а полученные результаты складывать с учётом знака.

Итак, любой интеграл можно представить в виде бесконечной суммы — ряда:

Думаю, самое время применить полученные знания на практике:

В качестве упражнения предлагаю взять такой интеграл:

Я думаю, теперь вы понимаете, что для дифференцирования удобно брать степенные функции, потому что их производные имеют свойство рано или поздно обращаться в нуль. Поэтому-то в примере с синусом наша сумма и остановилась всего на двух слагаемых.

Давайте теперь, интереса ради, попробуем интегрировать степенную функцию, а потом сравним полученные результаты:

Итак,

Положив x=0, приходим к тому, что константа C необходимо равна единице. Теперь без труда получаем разложение экспоненты в ряд:

В качестве упражнения докажите самостоятельно, что

В некоторых случаях бывает удобно прервать процесс интегрирования по частям на некотором шаге. Для прерывания итерации на первообразной n-го порядка справедлива формула:

Например,

Думаю, пора заканчивать. К сожалению, все пути, которые вам открывают приведенные мною формулы, нельзя уместить ни в одной статье. Экспериментируйте, исследуйте, а, самое главное, помните — творчество безгранично!