Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Но мы с тобой и так слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице. Совместим мы их вот так:

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной 111. Это так потому, что окружность-то у меня единичная! Тогда по определению синуса и косинуса:

А что же такое отрезки OA и OB? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол α и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через B. Пусть B имеет координаты B(x,y).

Тогда длина отрезка OA равна x, а длина отрезка AB равна y.

Но мы с тобой помним, что sin α=AB, cos α=OA, тогда:

y=sin α

x=cos α

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол α и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

1. Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла
2. Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью
3. Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла
4. Её «игрековая» координата – это синус нашего угла

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус 30 градусов.

1. Отмечаем 30 градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше). Как найти x и y?

2. Да очень просто: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса). Так как гипотенуза равна 1, то противолежащий ей катет равен 0,5, откуда:

sin 30°=0,5

Что касается косинуса: для этого нам потребуется заметить, что выполняется тривиальное утверждение (основное тригонометрическое тождество):

Как ты думаешь, откуда оно берется? Да это же пресловутая теорема Пифагора!

Продолжение следует…