Синус, косинус, тангенс и котангенс на окружности (продолжение)
Наши катеты в треугольничке равны xи y, которые в свою очередь совпадают с cos α и sin α. Гипотенуза в треугольнике равна 1.
Тогда:
Эта формула позволит по известному синусу вычислить неизвестный косинус и наоборот. В частности, если:
Теперь нужно выбрать знак.
Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла 30 градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».
Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: 60° и 45°
Можно схитрить: в частности для угла в 60°. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен 60°, то второй – 30°. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:
sin 30°=cos 60°
sin 60°=cos 30°
C 45 градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен 45 градусам, то и другой тоже равен 45 градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.
Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.
Тогда:
Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в 0 градусов и 90 градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!
У тебя должно было получиться:
sin 0°=0, cos 0°=1, sin 90°=1, cos 90°=0.
Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:
Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!
Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:
Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти. Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса 90\displaystyle 9090 градусов. Это неспроста!
В частности:
Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс 90 градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!
Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:
- Угол лежит в пределах от 0 до 360 градусов
- Угол больше 360 градусов
Вообще говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим в другой статье. Вначале остановимся на первом случае.
Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.
Теперь же пусть наш угол больше 90 градусов и не больше чем 360. Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.
Как мы поступаем? Да точно так же!
Давай рассмотрим вместо вот такого случая...
...вот такой:
То есть рассмотрим угол α, лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?
У точки M1, которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты x1 и y1.
Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!
Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.
Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника. Кстати, подумай, у каких углов косинус равен −1? А у каких −1 равен синус?
Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).
Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.
Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.
Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:
Синус – это игрек
Косинус – это икс
Тангенс – это синус деленный на косинус
Котангенс – это косинус деленный на синус
Давай мы с тобой немного потренируемся. Совсем простые задачки:
Выяснить, какой знак имеют следующие величины:
Проверим?
Быть может, тебе сложно определять четверти по радианам. В таком случае, ты всегда можешь перейти к градусам. Ответ, разумеется, будет точно таким же.
Теперь я хотел бы очень кратко остановиться вот еще на каком моменте. Давай снова вспомним основное тригонометрическое тождество.
Как я уже говорил, из него мы можем выразить синус через косинус или наоборот:
Источник: https://youclever.org/book/trigonometricheskaya-okruzhnost-1