Становление математики

В предыдущей статье “Почему искусственный интеллект не интеллект” мы пришли к выводу, что для развития искусственного интеллекта помимо совершенствования самой материальной базы (процессоров) можно и даже нужно развивать и сами математические методы, на которых искусственный интеллект и построен. Но для того, чтобы двигать вперед математику, необходимо понимать саму логику ее развития. Для этого очень кратко рассмотрим становление математики в историческом контексте, а также сделаем общие выводы о том, как в математике совершаются открытия и что делать, если математика “поломалась”.

До того как у человечества сложились представления о числе и счете, необходимому усвоению подлежали более широкие, а потому более простые категории, такие как “больше”, “меньше”, “дальше”, “ближе”, “потом”, “раньше”, “равно”, “неравно” и т.п. В этих словах выражались общие количественные соотношения между различными вещами, явлениями и событиями. И уже затем, когда обнажилась потребность не просто в сравнении величин, а наиболее остро возник вопрос, на сколько именно больше (меньше), возникла и потребность в возникновении самого числа и счета. [1]

Древнейшим счетным инструментом, который сама природа предоставила в распоряжение человека, была его собственная рука. Для облегчения счета люди стали использовать пальцы сначала одной руки, затем обеих, а в некоторых племенах и пальцы ног.

С появлением частной собственности, а за ней и государства, потребность в более точном учете дало толчок и к развитию математики. К примеру, операция сложения развилась до операции умножения: в Древнем Египте умножение понадобилось для того, чтобы рассчитывать площадь земель. Египетские жрецы, хоть и имели представления о том, как практически использовать математику для предсказания разливов Нила, солнечных затмений и прочего, но теоретическими доказательствами себя не обременяли. За них это сделали древние греки, в свободолюбивых (хоть и не для всех) полисах которых доказательство своей позиции считалось обязательным условием.

Натуральные числа и дроби в том или ином виде существовали в каждой цивилизации, однако привычные нам цифры появились в Индии. Это те самые цифры, которые ошибочно зовутся арабскими. И десятичная система счисления также была изобретена в Индии. Это стало возможным с открытием нуля: при учете доходов и долгов, складывая которые между собой при их равенстве как раз-таки и можно было получить “ничего”. Это “ничего” впоследствии и было оформлено как ноль, который далее сыграл значительную роль в математических уравнениях.

Современные очертания математика начинает обретать после трудов Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница, которые в свою очередь базировались на открытии Рене Декартом его системы координат. Здесь стоит выделить одну очень характерную деталь: Ньютон и Лейбниц практически одновременно открывают интегральное и дифференциальное исчисление, которое составляет основу текущего аппарата математического анализа, наводящего ужас на нынешних студентов-первокурсников.

Необходимость этого открытия, как и любого другого, буквально витала в воздухе и ждала своего гения, ведь гений - это тот, кем мыслит все человечество в момент его инсайта. Гению достаточно сделать недостающий логический шаг, и если открытие не совершит один человек, его обязательно осуществит кто-то другой. И такое очень часто происходит не только в математической науке, потому многие законы могут носить наименование сразу двух ученых их открывших: формула Ньютона-Лейбница, уравнение Менделеева-Клайперона, неравенство Коши-Буняковского, уравнение Гильберта-Шмидта и прочее.

Развитие математики, как и любой другой науки, напрямую зависит от уровня развития самого общества. Грубо говоря, для того, чтобы атлант “затарил гречи”, необходимо, чтобы кто-то эту гречу для него как минимум вырастил.

Иными словами, занятие наукой при сохранении классового деления в обществе можно отнести скорее к роскоши, чем к необходимости. Это относится и к античности, и к Эпохе Возрождения. Справедливо это и для современности, особенно если речь идет о полупериферийной державе: нужно быть обеспеченным (но за чей счет?) человеком, чтобы позволить себе иметь скромную зарплату ученого или же иметь в своем распоряжении свободное время (опять-таки за счет чего?), чтобы заниматься наукой на досуге. И занятие математикой не является здесь исключением.

Если рассматривать математику как статичную систему, то можно прийти к вполне резонному выводу, что она является сугубо формально-логической системой. Однако расширение математического аппарата, формулирование новых теорем и прочие манипуляции, направленные на приращение знания, напрямую связаны уже с логикой диалектической: ею математики и занимаются на переднем крае математической науки, даже если и не отдают себе в этом отчет и ссылаются на озарение или инсайт, которые по своей сути являются ничем иным как старым добрым диалектическим синтезом. Текущие (как и все предыдущие) нерешенные проблемы математики могут быть решены только при помощи выхода за рамки текущей математической системы, за рамки логики формальной, путем синтеза решения из накопленных проблем для последующего вписывания недостающих логических выкладок в уже обновленную систему.

Даже банальное деление на ноль пусть и в пределе - это уже выход за рамки формальных правил, а без этого допущения нарушения был бы немыслим современный математический анализ [2]. Еще одним явным примером открытия, рожденного в противоречии, можно смело назвать комплексные числа [3].

Сама постановка проблематики - это уже половина решения, а выявлять проблематику и уж тем более ее решать при помощи одной лишь формальной логики, не терпящей противоречий, - занятие неблагодарное. Абсолютизация применимости формальной логики неизбежно заведет нас в тупик, в порочный круг, из которого невозможно выбраться.

Одним из самых изящных и одновременно вопиющих противоречий на данный момент является ряд 1+2+3+..., который, устремляясь к бесконечности, одновременно с этим, предположительно, в очень конкретных условиях совершенно неожиданно может сходиться к… -1/12. Подробнее об этой математической проблеме, а также о все еще недоказанной (по крайней мере официально) гипотезе Римана в целом в доступном изложении можно узнать из этого видео (как минимум здесь представлена очень красивая визуализация). Также о “мистическом” исчезновении казалось бы всеобщего правила коммутативности для сложения (от перемены мест слагаемых сумма внезапно меняется) в определенных условиях можно посмотреть тут. Остальное по теме (для желающих окунуться в зубодробительный мир Бернхарда Римана более углубленно) вынесено в список доп.источников [4].

Так что в определенных обстоятельствах даже строгая математика может вести себя весьма удивительным и контринтуитивным образом. Наиболее явно “маразмы” в математике можно отследить в кольцах и группах, где ожидаемо не работают некоторые свойства алгебраических операций [5]. Но случается и так, что математика предательски “ломается”, обнажая противоречия в самых неожиданных ситуациях, и если такое происходит, то с этим нужно разбираться намного подробнее.

Главное, не впадать в крайности: за формально-логическими ошибками в рассуждении не следует начинать видеть якобы диалектические противоречия, а также формализировать и формально же “снимать” (на деле - маскировать) уже реальные диалектические противоречия.

Как отличить одно от другого? Учить матчасть :) И математическую, и диалектико-материалистическую. Простые рецепты и решения по аналогии здесь, увы, не работают: тут думать надо.

Со списком открытых математических проблем, ждущих своих героев, при желании можно ознакомиться на соответствующей странице в википедии [6]. За каждым из них может скрываться очередное противоречие, складывающееся в рамках текущей математической системы, вскрыв которое, можно немного преуспеть и в самом решении проблемы, а вместе с этим продвинуть хотя бы на шажочек вперед и саму математику.

Автор: Эмилия Балбус

Список источников и дополнительных материалов:

1. Э.В. Ильенков “Об идолах и идеалах” (https://royallib.com/read/ilenkov_evald/ob_idolah_i_idealah.html , c. 28)
2. Деление на ноль (популярно: https://habr.com/ru/post/247635/ , научно: https://www2.math.su.se/reports/2001/11/2001-11.pdf )
3. О появлении комплексных чисел (популярно: https://habr.com/ru/post/246747/)
4. Дзета-функция Римана (научно-популярно: https://habr.com/ru/post/452964/ , еще немного о связи 1+2+3+... и -1/12 : https://youtu.be/YuIIjLr6vUA )
5. Конечные поля и “поломка” математики в кольцах и группах (популярно: https://youtu.be/nm_o0IS2gK4 , научно: К.Айерлэнд, М.Роузен “Классическое введение в современную теорию чисел”: http://bookre.org/reader?file=567707 , Ленг С. “Алгебра”: http://bookre.org/reader?file=468848 )
6. Список открытых математических проблем (https://ru.wikipedia.org/wiki/Открытые_математические_проблемы )