Ласло Мерё «Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности» - рецензия П. Можейко
«Чудо противоречит не законам природы, а лишь нашим представлениям о законах природы...» (Августин Аврелий)
НАЗВАНИЕ: Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности
АВТОР: Ласло Мерё
ОРИГИНАЛЬНОЕ НАЗВАНИЕ: Logic of Miracles: Making Sense of Rare, Really Rare, and Impossibly Rare Events
ISBN: 978-5-389-14793-5
ГОД ИЗДАНИЯ: 2019
ИЗДАТЕЛЬСТВО: «КоЛибри»
СЕРИЯ: «Человек Мыслящий. Идеи, способные изменить мир»
КОГДА МНОЙ ПРОЧИТАНО: Июнь 2022
ИСТОЧНИК: Оригинальная книга
О КНИГЕМатематики любят интересные задачки и головоломки. Например, какая связь между Ливаном 1975 года и венгерским математиком первой четверти XXI века? А связь эта – Нассим Талеб, американский писатель, статистик и бывший трейдер ливанского происхождения, автор нашумевшей книги «Черный лебедь». Причем здесь он? А притом, что математик из Венгрии Ласло Мерё написал свою книгу «Логика чудес», как реакцию на идеи, высказанные в главной книге Талеба, а также, как попытку переосмыслить и подвести теоретическую (математическую) базу под эти неупорядоченные (со слов Ласло и многих других критиков) теории.
«Желание написать эту книгу возникло у меня при чтении «Черного лебедя», бестселлера Нассима Талеба. Талеб называет мир обычных, повседневных событий Среднестаном, а мир необычных — в особенности негативных, которые он прозвал «черными лебедями», — Крайнестаном. Он утверждает, что модели, описывающие Среднестан, устарели. Интересные и порой глубокие идеи Талеба впечатлили меня, но в то же время вызвали отторжение. Во-первых, мне, математику с ученой степенью, показались совершенно непонятными его математические выкладки. Во-вторых — и вряд ли это совпадение, — его выводы я тоже счел неубедительными. А потому, как автор нескольких учебников и научно-популярных книг, я решил написать еще одну книгу, призванную оспорить ряд заключений Талеба и представить математические концепции в виде, понятном для читателей, не имеющих особой склонности к математике.»
Вот так, купив книгу про чудеса и логику, можно наткнуться на «ответку» бестселлеру, более того, не просто критический разбор, а переосмысление изложенной в нем концепции. Возникает вопрос: можно ли и нужно ли читать книгу Мерё, если еще не успел (не хотел, не смог) прочитать «Черного лебедя» Талеба? Да, можно. Ведь я и сам отношусь к такой категории читателей. Не стоит думать, что вся книга насквозь пронизана перекличкой с трудами ливанца. Они послужили лишь предпосылкой для концепции Мерё, которая подробно рассмотрена в этой книге. А что касается критики, то вот, что говорит автор о «Черном лебеде»:
«Несмотря на весь упорный труд редакторов, старавшихся придать книге хоть сколько-нибудь презентабельный вид, произведение Талеба — хаотичная мозаика из идей, язвительных выпадов и словесных перепалок, да и по стилю книга не шедевр. Секрет его успеха в том, что за всеми невразумительными рассуждениями о философии финансов, бурными потоками высокомерия и чрезмерно раздутым самомнением автора (все нобелевские лауреаты по экономике — «невежественные шарлатаны»; Джордж Сорос и тузы с Уолл-стрит — всего лишь баловни судьбы, никак иначе) нельзя не почувствовать: ему известно нечто важное о мире. У Талеба ужасный стиль, но он по-настоящему умен и знает, о чем говорит. Это касается и математики.»
К сожалению, есть недостатки и у книги Мерё. Математики всегда остаются математиками, и, если они обещают вам спуститься с абстрактного мира на землю и рассказать все «простыми словами», то никогда им не верьте. Словно запойный алкоголик, каждый из них рано или поздно снова сорвется в математические термины и язык символов. Их можно понять, ведь этот язык предельно лаконичен, но при этом точен, и не позволяет использовать несколько трактовок. Каждый раз, пересказывая формулу или концепцию простыми словами, математик как бы замыливает суть лишними метафорами и аналогиями. Поэтому научно-популярные книги по математике – это всегда некоторый баланс между доступностью и точностью. Выдержан ли он у Мерё? С большего да, но не ждите увеселительной литературной прогулки.
Не очень удачно и название книги (в купе с обложкой). Видя динозавра на фоне современного мегаполиса и читая «осмысление событий редких…», можно подумать, что в книге с точки зрения статистики разбираются либо реальные, либо гипотетические события, которые в рамках современной науки можно было бы считать чудесами. Эдакая книга-каталог. Однако, все совсем не так. Невероятные события тут упоминаются мало, а сама книга про то, какая математика нам нужна для того, чтобы получить возможность осознать и понять весьма редкие события, которые не просчитываются обычными методами. Т.е. эта книга про то, каким математик видит мир, в котором случаются события, называемые чудесами, и о том, как в такой мир внести долю рациональности.
«Чудеса однократны, их не воспроизвести, но это не значит, что они не могут случиться снова. Нет, могут — столь же таинственно и неповторимо, как в первый раз.»
Всего Ласло Мерё выделяет 4 типа чудес:
«Если поискать определение слова «чудо» в толковом словаре, там можно найти приблизительно следующее:
- Замечательная вещь, достойная восхищения: поистине превосходный представитель своего рода.
- Достижение или происшествие, настолько выдающееся или необычное, что оно кажется выходящим за рамки человеческих возможностей или устремлений.
- Событие или эффект в физическом мире, отклоняющиеся от законов природы.
- Необычайное событие, в котором проявляется божественная сила или вмешательство в человеческие дела.»
<…> Для формулировки определения истинных чудес я хотел бы несколько изменить определение 2, уточнив, что к чудесам относятся явления, отклоняющиеся от законов природы в том виде, в каком их понимает современная наука. Теорема Гёделя — по меньшей мере ее дух, если не ее строгое математическое выражение, — убеждает нас, что такие явления будут возникать всегда, как бы далеко и в каком бы направлении ни продвинулась наука. Наконец, назовем явления, удовлетворяющие определению 3, — то есть вызванные божественным вмешательством, — трансцендентными чудесами. Им никогда не удастся дать научного объяснения, ибо существование таких чудес всегда будет оставаться вопросом веры.»
Кстати, гениальность также нередко считают одним из видов чудес. Вот что пишет об этом автор:
«Сегодняшняя гениальная идея завтра будет общеизвестной истиной. Теорию, которую мог разработать только гений, через некоторое время будут преподавать тысячи весьма далеких от гениальности учителей. Сначала, когда идеи новы и революционны, понять их и передать новые знания может только великий учитель. Но со временем те, кого интересует эта теория, совершенствуют и упрощают ее и находят новые способы ее объяснения, которые значительно облегчают ее преподавание. В оригинале «Начала» Ньютона очень трудны для понимания. Я читал эту книгу и могу засвидетельствовать, что читать ее невозможно. Но материалы, изложенные в ней, ежегодно преподают тысячам и тысячам старшеклассников и первокурсников. Человек гениальный открывает новую территорию, а люди необычайно талантливые следуют по пути, проложенному гением. Позднее по их следам идут люди, талантливые лишь умеренно.»
Вышесказанное справедливо и для одного гениального логика, о котором пойдет речь ниже.
ТИХОНИЯ И ДИКОНИЯ
И так. Ласло Мерё предлагает нам условно (в рамках математических абстракций) разделить наш мир и события в нем на две части: спокойную, рациональную, предсказуемую «Тихонию» (вместо талебовского «Среднестана») и необузданную, бесконечно изменчивую, наполненную самыми невероятными событиями «Диконию» (вместо талебовского «Крайнестана»). Нам, людям, комфортнее жить в Тихонии. Это привычная для нас среда. Но если случаются катастрофы, и на смену Тихонии приходит Дикония, вместе с нашим комфортом уходит и точность математического анализа. Стало быть, для Диконии нужны свои законы.
Давайте рассмотрим оба мира подробнее.
1) Обе модели самосбывающиеся (усиливают себя в развитии):
«Черты Диконии — биржевые крахи, землетрясения, войны — в нашем мире частые гости, но и жить, и устраивать экономику нам лучше всего по законам Тихонии. Диконская экономическая модель, возможно, более точна, но тихонские для нас полезнее. Обе модели, и тихонская нормальность, и диконские неистовства, черпают силы в себе самих. Веря в тихонскую модель, мы и в реальности получим экономику и общество, более близкие к тихонским, а психологическое воздействие модели диконской заведет нас в политический и экономический хаос.»
2) Модели работают одновременно (а не сменяют друг друга полностью):
«Нам нужна одна модель для событий, идущих своим чередом, — впрочем, иные из них могут быть весьма необычными, — и другая для событий чрезвычайно редких, из ряда вон выходящих. Черты этих двух радикально различных миров присутствуют в нашей жизни одновременно.»
3) «Чудеса» Тихонии – это обыденность для Диконии. Так взаимосвязанны эти два мира.
«Открытие Диконии помогло нам понять, что в тех частях мира, которые управляются диконскими законами, следует ожидать, что время от времени будут возникать чрезвычайно сильные отклонения, противоречащие здравому смыслу. До этого, когда объяснения можно было почерпнуть только из законов Тихонии, такие события считались чудесами. Но в Диконии торжествует точка зрения: такие отклонения — не чудеса, и в будущем гарантированно будут возникать другие, даже еще более крупные.»
Фундаментальное отличие между Тихонией и Диконией:
«В Тихонии, где явления порождаются взаимодействием многочисленных мелких компонентов, мы ожидаем стабильности, с четко определенными понятиями среднего, или математического ожидания, и стандартного отклонения от среднего. Но в Диконии нормальна только ненормальность. Возможно все, что угодно, и у событий нет стандартного отклонения. В этом и заключается фундаментальное различие между этими двумя мирами.»
Про стандартное отклонение и математическое ожидание станет понятнее чуть ниже.
А теперь сравним Тихонию и Диконию по пунктам:
«В Тихонии не следует рассчитывать на крупные неожиданности, потому что «черные лебеди» встречаются там чрезвычайно редко. В Диконии мы сталкиваемся с ними все время, и то обстоятельство, что лебеди эти по большей части «серые», этого не меняет. И природа, и время появления «серых лебедей» непредсказуемы.
В Тихонии, вообще говоря, рекомендуется идти на средние риски, избегая как слишком малых, так и слишком больших: при очень малых рисках выигрыш ничтожен, а по-настоящему крупные риски обычно грозят слишком большими потерями. Напротив, в Диконии, как показывает математическое доказательство Талеба, имеет смысл идти на множество совсем малых и несколько по-настоящему крупных рисков, а с рисками среднего размера лучше не связываться.
В Тихонии история течет медленно, а революционные изменения происходят крайне редко. В Диконии история развивается гигантскими скачками, и в течение нашей жизни можно ожидать нескольких революций.
В Тихонии самая полезная в долгосрочной перспективе стратегия поведения — конформизм, то есть следование правилам. Это касается даже необычайных талантов, хотя такие личности иногда открывают нечто, что приводит к некоторым изменениям области применимости этих правил. Очень редко к уже существующим правилам добавляются новые (но тоже, по сути, тихонские), воплощающие новые проявления «крайностей Тихонии». В Диконии же наиболее эффективным чаще всего оказывается нонконформизм, разумное нарушение тихонских правил.»
Так что, перефразируя известную цитату, отметим: «Не важно, как голосуют. Не важно, кто считает. Важно… в КАКОЙ СИСТЕМЕ!»
КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАУССА И КОША
Все эти умные слова в цитатах выше уже наверняка распугали значительную часть читателей этой рецензии, поэтому уместно спасти ситуацию картинками (да простят меня математики за такое упрощенное название красивейших графиков).
И у Тихонии, и у Диконии есть свое лицо, свой математический портрет, идентифицирующий их. Для Тихонии – это кривая нормального распределения (Гаусса), а для Диконии – кривая Коша. Рассмотрим их подробнее.
Кривая нормального распределения Гаусса:
«Греческая буква μ (мю), отмечающая середину оси абсцисс, обозначает среднее значение, или, если использовать более точный термин, математическое ожидание. Как видите, в точке μ кривая достигает максимума: это означает, что при нормальном распределении среднее значение и встречается чаще всего. Греческая буква σ (сигма) обозначает стандартное отклонение. Также можно видеть, что для 34,1 % населения измеряемая величина (например, рост) находится между средним значением и значением, превышающим среднее на одно стандартное отклонение. Еще для 34,1 % эта величина ниже среднего на одно стандартное отклонение или меньше. Кроме того, на три стандартных отклонения от среднего отличаются менее 0,2 % населения (один человек из пятисот). Так распределяются величины по гауссовой кривой. <…> Это распределение очень хорошо моделирует многие природные явления.»
В некоторых областях распределение Гаусса работает плохо.
«Оказалось, что распределение Гаусса не вполне отражает механизмы, действующие в экономике. И это относится не только к экономике: за пределами области применимости этой конкретной модели лежат и многие другие явления. Во время финансового кризиса 2008 года я слышал от разных финансовых гуру, что «такого кризиса нельзя ожидать даже раз в десять тысяч лет». Хотя десять тысяч лет мне исполнится еще не скоро, я слышал такие же заявления по меньшей мере раза четыре, а то и пять — например, во время кризисов 1987 и 1998 годов, а также после 11 сентября. Видимо, что-то тут не так. Не так тут то, что распределение Гаусса не предусматривает потрясений, возникающих, казалось бы, на ровном месте. Оно весьма хорошо предсказывает развитие событий в Тихонии, но не в состоянии справиться с бурным миром Диконии. Для описания таких кризисов нам нужна принципиально другая модель. На самом деле такие модели есть, и существуют они так же давно, как и гауссово распределение, ставшее столь надежной основой тихонской науки.»
Как сдвигается нормальное распределение Гаусса?
«Нормальное распределение можно считать источником стабильности: именно оно позволяет популяции оставаться в целом неизменной от поколения к поколению, несмотря на регрессию к среднему. Разумеется, некоторые изменения популяции со временем все же происходят. Например, в прошлом веке человечество стало существенно выше ростом. Это отчасти вызвано развитием медицины, а отчасти — резким сокращением неполноценного питания. Тем не менее уже ясно, что в последние несколько десятилетий это увеличение остановилось, по меньшей мере в развитых странах. Рост будущих поколений, вероятно, будет приблизительно таким же, как рост нашего поколения — как по среднему значению, так и по стандартному отклонению. Установился новый стабильный ростовой режим. Распределение Гаусса сдвинулось, но осталось самим собой.»
Объяснение распределения Коши:
«Из всех математических и физических явлений, которые порождают кривую Коши, возможно, легче всего понять следующее. Предположим, женщина с винтовкой — назовем ее Фиби, в честь великой американской женщины-снайпера Фиби Энн Моузи, более известной под именем Энни Оукли, — стоит на некотором расстоянии — скажем, в десяти метрах — от стены, которая продолжается до бесконечности в обоих направлениях. Она закрывает глаза, крутится на месте и, остановившись под случайным углом к стене, стреляет в ту сторону, куда направлена в этот момент ее винтовка. Разумеется, в половине случаев она вообще промахнется, потому что будет стоять спиной к стене, но мы рассмотрим только те выстрелы, которые в стену попадают. Чаще всего пули будут бить в стену сравнительно недалеко от стрелка. Половина попаданий придется на 20-метровый участок, центром которого будет ближайшая к нашей героине точка стены. И если провести перпендикуляр от Фиби к этой точке, пули полетят по обе стороны от него под углом, не превышающим 45°. Поэтому самая высокая часть у кривой Коши, как и у кривой Гаусса, находится в середине. Но если винтовка Фиби окажется почти параллельно стене, то ее пуля поразит гораздо более удаленную точку. Распределение Коши описывает среднюю частоту попадания в каждую точку стены. Основное различие между моделями Гаусса и Коши состоит в том, что в распределении Гаусса очень удаленные части стены оказываются в высшей степени безопасными. Если Фиби стоит в 10 м от стены и стреляет раз в секунду, причем угол, под которым она стреляет, задан нормальным распределением, то до попадания в точку, расположенную в 65 м или дальше, пройдет в среднем 10 000 лет, а в случае, если угол определяется распределением Коши, Фиби поразит отметку в 65 м в среднем всего за 21 с. Более того, достижение расстояния 1000 м или более займет в среднем всего 5 минут, 10 000 м — 52 минуты, 100 км — 9 часов, а 1000 км — всего лишь 3,6 суток. Таким образом, если при распределении Гаусса мы в безопасности уже чуть менее чем в сотне метров от винтовки Фиби, то в сценарии Коши нам не вздохнуть спокойно, даже будь мы в тысяче километров от нее. Пули попадут в каждый участок стены — редко, но в течение разумного времени.»
У Коши нет среднего значения и отклонения!
«Концепция Коши приводит к дикому миру, в котором нельзя даже говорить о таких «очевидных» вещах, как типичное отклонение от типичного значения, — потому что ничего такого не существует: ни типичного значения (математического ожидания), ни типичного отклонения. Невозможно сказать, что является «средним». Если вам нужно среднее, вам придется оставить мир Коши и вернуться в безопасный и тихий мир Гаусса. Поэтому можно сказать, что математика Тихонии происходит от Гаусса, а математика Диконии — от Коши.»
ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ
Возможно у вас уже возник в голове вопрос: как возможно такое, что «возможно все, что угодно»? Разве математика сама по себе не ограничивает мир тем, что можно проанализировать, осознать и просчитать ее методами? Зачем придумывать еще какую-то новую математику?
Спросите у этого парня!
Это Курт Гёдель (1906-1978) – австрийский логик и математик, человек, который сформулировал и доказал т.н. «теорема о неполноте», которая для математиков имеет такое же значение, как и открытия Альберта Эйнштейна для физиков. А на самом деле, обе работы имеют огромное значение для всех, только знать большинству об этом не обязательно.
К слову, если хотите почитать увлекательную книгу про логиков и математиков конца XIX и начала ХХ веков, про Рассела, Гилберта, Фреге, Витгенштейна и, конечно, Гёделя (в том числе про его теорему), то я рекомендую графический роман Апостолоса Доксиадиса и Христоса Пападимитриу «Логикомикс. Поиск истины».
Но вернемся к математике.
Суть теоремы Гёделя:
«Теорема Гёделя утверждает, что во всех математических системах, кроме самых простейших, непременно должны возникать задачи чисто математические, но не разрешимые методами самих этих систем. Отсюда и название «теорема о неполноте».
Как Гёдель повлиял на математику?
«До Гёделя всегда считалось самоочевидным, что для нахождения решения математической задачи требуются только достаточные способности, рассудительность и ловкость. Математик не был стопроцентно уверен, что решение существует, так как поставленная Гильбертом задача о непротиворечивости еще не была решена (не решена она и до сих пор), но у него не было причин сомневаться в том, что рано или поздно непротиворечивость математики будет доказана. После Гёделя приходится постоянно помнить о том, что решение задачи может не даваться не потому, что решающему ее не хватает ума, а потому, что задача эта — гёделева, то есть в рамках системы математики невозможно вывести ни заключенное в ней утверждение, ни утверждение обратное ему. И разумеется, появляется все больше результатов, доказывающих, что некоторые задачи действительно являются гёделевыми. <…>
В результате работы Гёделя математикам стало ясно, что математика не может исключить возможности параллельного существования нескольких разных математических систем, подчиняющихся разным законам. <…>
Тот факт, что некоторые явления происходят по законам Тихонии, не исключает возможности подчинения других явлений законам Диконии. Нам нужно построить науки обоих миров и тщательно обдумывать, к какому из них принадлежит то или иное конкретное явление. Так гёделевское мышление, первоклассное произведение тихонской науки, заложило основу для понимания чудес Диконии.»
О (не)противоречивости математики:
«Математическая система не может быть противоречивой «лишь немножко». Она либо абсолютно непротиворечива, либо противоречива. И если она противоречива, в ней можно получить любой вывод, в том числе и совершенно бессмысленный, вроде 1 = 0. Из этого следует, что математика — конструкция чрезвычайно хрупкая, раз одно-единственное неявное противоречие может обрушить все ее здание. Поэтому нам следует поддерживать непротиворечивость математики. Однако даже и в отсутствие противоречий математическое доказательство остается предметом хрупким — даже малейшая логическая ошибка делает его бесполезным.»
Таким образом, Курт Гёдель доказал, что одновременно может существовать несколько математических систем, каждая из которых будет позволять комфортно работать либо в Тихонии, либо в Диконии. При этом методами одной невозможно анализировать другую (и наоборот). Теперь осталось понять, что такого есть в математике Диконии.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШТУЧКИ
Общая характеристика концепции Тихонии/Диконии, пояснения к распределению Гаусса и Коши, разбор теоремы о неполноте Гёделя и последствий его работ занимает лишь половину этой трехсотстраничной книги. Вторая половина книги посвящена конкретным математическим моделям и системам, которые характерны для Тихонии или Диконии. По крайней мере человеку далекому от увлечения математикой, но при этом довольно любознательному, т.е. мне, показалось, что все эти последующие главы книги не складываются в какую-то одну общую картину, но при этом интересны сами по себе.
Читателя ждет знакомство с таким явлением, как регрессия к среднему (что интересно, она отражается в реальной жизни на стремлении руководителей поощрять или наказывать сотрудников в определенные этапы колебания производительности труда), также, он познакомится с природой гипервещественных чисел (меньше любого числа, но больше нуля), узнает, в чем заключена математическая основа принципа Парето (20 на 80 %) и почему он так универсален, познакомится с «простотой хаоса» и его внутренним устройством, исследует фракталы и инвариантность безмасштабных сетей (сети, подобные на социальные взаимодействия между людьми) и мн. др.
Отсюда можно вынести много интересной и порой даже неожиданной информации. Например, то, что хаос – это не беспорядок, и то, что в основе хаоса лежат весьма простые закономерности (посмотрите на движения простейшего двухшарнирного (двойного) маятника!), и то, что сила (стабильность) безмасштабных сетей основана на слабости (!) связей между ее узлами (большие города могут существовать благодаря тому, что большинству горожан мало дела до большинства остальных горожан). В общем и целом, все эти «математические штучки» отличный повод поломать голову, взглянуть на наш мир с другой стороны и узнать что-то новое.
Подробнее про вышеназванные явления можно почитать отдельно вынесенный ЦИТАТНИК по ссылке ниже:
https://telegra.ph/pavelmazheikabooksreview---274-citatnik-07-15
Что в итоге? Читая эту довольно небольшую книгу, можно косвенно познакомиться с идеями Нассима Талеба, не читая его «Черного лебедя». Но это не главное. Опираясь на труды Курта Гёделя, Ласло Мерё показывает, что возможно существование нескольких математических систем, более того, для «ненормального» мира Диконии нам просто необходимы другие методы, принять участие в разработке которых он и призывает своих читателей.
Различные математические явления из мира Тихонии и Диконии, представленные во второй половине книги, интересны сами по себе, и отлично тренируют воображение и расширяют кругозор.
А еще, интересна высказанная Мерё концепция «свалки богача». Согласно автору, лучше оказаться на «свалке богача», чем в «хижине бедняка». Все это лишь образы, но суть выражения в том, что лучше в случае глобальной катастрофы оказаться на руинах развитой цивилизации и найти в этих руинах много полезного, включая знания, нежели собирать крупицы и до того бедного мира. Т.е. нам надо становиться «богачами», занимаясь поисками математических систем, которые смогут описать опасную и интригующую Диконию.
МОЕ МНЕНИЕ ОБ ИЗДАНИИ:
Качественное издание в традиционном для научно-популярной литературы оформлении.
Формат стандартный (140x210 мм), твердый переплет, без суперобложки, 304 страницы, с иллюстрациями.
Достоинства издания: хорошее качество печати; белая бумага; твердый переплет; наличие колонтитулов; информация об авторе; подробное оглавление; ч/б иллюстрации; хорошо выделенные заголовки; библиография; примечания.
Недостатки издания: не совсем удачная обложка (динозавр совсем не к месту).
ПОТЕРЯЛ БЫ Я ЧТО-НИБУДЬ, ЕСЛИ БЫ ЕЕ НЕ ЧИТАЛ:
Больше нет, чем да. В целом, в книге одна идея/концепция и много пусть и интересных, но не укладывающихся в нечто цельное фактов. Читать интересно, но только для расширения кругозора и тренировки абстрактного мышления.
КОМУ ПОРЕКОМЕНДОВАЛ БЫ:
Книга будет интересна прочитавшим «Черного лебедя» Нассима Талеба, но не столько тем, что эта книга реакция на нее, сколько тем, что она о том же, но с большей долей математики (если верить заявлениям Ласло Мерё).
ТЕГИ: Нон-фикшн, науч-поп, математика, логика, статистика, прогноз, анализ.
ВИДЕО В ТЕМУ: Небольшая, но информативная лекция о слабом месте математики и гёделевской теореме о неполноте по ссылке ниже.
https://vk.com/pavelmazheikabooksreview
https://t.me/pavelmazheikabooksreview
=> Эта рецензия на "живой книге (мой ник PavelMozhejko) <=