Почему если что наоборот, то всё наоборот, и когда так?

На днях я придумал вам задачу, но её почему-то никто не решил. Наверное, никто не понял условие, потому что я очень хуёво объясняю. Ну так или иначе, я решил написать разбор. В свой День рождения. Мне же больше нечем заняться в свой День рождения, так?

Начнём с того, что я имел ввиду, что

a*10 + b
b*10 + a
c*10 + d
d*10 + c

двузначные числа. Все. Поэтому a, b, c, d — однозначные числа от 1 до 9.

И я специально взял отдельные буквы, чтобы показать, что они выбираются независимо.

То есть всего у нас комбинаций 9*9*9*9 = 6561 вариант. Но может, стоило оставить в виде произведения.

Теперь начнём эксперементировать.

11*11 = 121; 121 = 11*11 (+)
11*12 = 132; 231 = 21*11 (+)
11*13 = 143; 341 = 31*11 (+)
11*14 = 154; 451 = 41*11 (+)
12*13 = 156; 651 = 31*21 (+)
89*17 = 1513; 7742 = 71*98 (-)

Почему так нахуй? Давайте разбираться.

Перемножая два числа, мы перемножаем два многочлена. В нашем случае, двучлена.

(10а+b)(10c+d) = 100ac + 10(ad+bc) + bd

То есть

ac — сотни.
ad+bc — десятки.
bd — единицы.

Но излишек уходит в следующий разряд, из-за чего наше свойство соблюдается лишь тогда, когда каждый разряд записывается однозначным числом. То есть:

ac < 10;
ad + bc <10;
bd <10.

Остаётся найти все такие а, b, c, d, которые удовлетворяют условию.

Перебираем:

abcd abcd abcd abcd
1111
1112 1121 1211 2111
1113 1131 1311 3111
1114 1141 1411 4111
1115 1151 1511 5111
1116 1161 1611 6111
1117 1171 1711 7111
1118 1181 1811 8111

29 вариантов

1122
1123 1132
1124 1142
1125 1152
1126 1162
1127 1172

11 вариантов. Столько же наоборот. Всего 22

1212 1221
1213 1231 1321
1214 1241 1421

И… это какой-то пиздец, как их считать вообще?

Давайте заново.

11*n:

Исключения могут быть лишь по десяткам, если

c+d ≥ 10.

Подходят:

11 12 13 14 15 16 17 18
21 22 23 24 25 26 27
31 32 33 34 35 36
…
81

То есть 36 вариантов.

12*n:

Исключения по десяткам и по единицам.

По единицам: d < 5
По десяткам: 2c+d < 10

Подходят:

11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33
41

То есть 12 вариантов.

13*n:

Исключения по десяткам и единицам.

По единицам: d < 4
По десяткам: 3c+d < 10

Подходят:

11 12 13
21 22

То есть 5 вариантов

14*n:

Исключения по десяткам и единицам.

По единицам: d < 3
По десяткам: 4c+d <10

Подходят:

11 12
21

То есть 3 варианта

Для 15, 16, 17 и 18 подходит только 11. То есть 4 варианта.

Для 19 вариантов нет.

21*n:

По сотням: c < 5
По десяткам: c+2d < 10

11 12 13 14
21 22 23
31 32 33
41 42

12 вариантов

22*n:

c < 5
2c+2d < 10, или c+d < 5
d < 5

11 12 13
21 22
31

6 вариантов

23*n:

c < 5
3c+2d < 10
d < 4

11 12 13
21

4 варианта

24*n:

c < 5
4c+2d < 10, или 2c+d < 5
d < 3

11 12

2 варианта

Для 25, 26, 27 подходит только 11. Ещё 3 варианта.
Для 28, 29 нихера не подходит.

31*n:

c < 4
c+3d < 10

11 12
21 22
31

5 вариантов

32*n:

c < 4
2c+3d < 10
d < 5

11 12
21
31

4 варианта

33*n:

c < 4
3c+3d < 10
d < 4

11 12
21

3 варианта

Для 34, 35, 36 только 11. +3 варианта.

Дальше можно делать устно.

Те варианты, что не вошли в 11, можно не рассматривать. Те, что не вошли в 12 и 21, но вошли в 11, имеют единственный вариант — 11.

Мы не рассматривали только 41.

41 имеет 3 варианта

Не разобрали 42.

42 имеет 2 варианта

Не разбирали:

43 44 45
51 52 53 54
61 62 63
71 72
81

То есть ещё 13 чисел. Для каждого по 1 варианту.

Складываем:

36+12+5+3+4+12+6+4+2+3+5+4+3+3+3+2+13 = 120

Прикольно, по-моему.

Возможно, число было бы красивее, если бы я учитывал единицы. Ведь по сути, числа 120 и 210 — это два противоположных числа. Но я этого делать не буду.

Пришло в голову составить квадрат из этих чисел. Почему бы и нет?

Однозначные числа я буду записывать в виде 05, 07, чтобы столбики были ровными.

11 12 13 14 15 16 17 18 19
21 22 23 24 25 26 27 28 29
31 32 33 34 35 36 37 38 39
41 42 43 44 45 46 47 48 49
51 52 53 54 55 56 57 58 59
61 62 63 64 65 66 67 68 69
71 72 73 74 75 76 77 78 79
81 82 83 84 85 86 87 88 89
91 92 93 94 95 96 97 98 99

Так выглядят все подходящие числа.

36 12 05 03 01 01 01 01 00
12 06 04 02 01 01 01 00 00
05 04 03 01 01 01 00 00 00
03 02 01 01 01 00 00 00 00
01 01 01 01 00 00 00 00 00
01 01 01 00 00 00 00 00 00
01 01 00 00 00 00 00 00 00
01 00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00 00

Это количество вариантов для каждого.

Какой-то неправильный треугольник Паскаля. Всё-таки стоило рассмотреть вместе с единицами.

Симметричность схемы доказывает то, что мы сделали всё правильно.

Ну короче вот.

По итогу имеем, что вероятность равна:

120/6561 = 40/2187

Это примерно 1,83%

Не очень внушительный процент, но он есть, и это весьма радует.

Ответ: 40/2187