ЕГЭ. Разбор №2

Что-то я до пизды давно ничего не писал. Если кто следит за постами в паблике, то он знает, что я писал регион всероса по физике. Так вот. Это ПИЗДЕЦ. Я себя никогда ещё таким тупым не чувствовал. То есть, я вроде бы всё понимаю, но я не понимаю, понимаю ли я и в итоге нихуя не понимаю. Короче, вы поняли. Но, к слову, мне очень понравилось, десятиклассникам рекомендую попробовать это в следующем году.

Ещё я наконец-то дописал олимпиаду ФИЗТЕХ, так что я вполне счастлив.

Ну а сегодня я решил сделать разбор ещё одного варианта из ЕГЭ. Его я написал всего на 92 балла, думаю, вы чувствуете разницу. Разберём, наверное, все задания.

Поехали.

№1.

Сейчас я научу вас провозить кокаин в детский лагерь, а вы должны понять всё с полуслова, потому что контрабанда — это не шутки.

На одного человека нужно 40 грамм кокаина сахара в день. За 7 дней —
7*40 = 280 грамм.

На 196 человек нужно 280*196 = 54880 грамм.

Поскольку лагерь вынужден покупать сахар килограммовыми пачками (хотя я на их месте перешёл бы на трёхкилограммовые мешки), мы можем к общей массе досыпать 120 грамм кокаина.

Остаётся разделить 55 килограмм на 1 килограмм. Так, в лагерь придёт 55 пачек сахара.

Ответ: 55.

№2.

Даты в условии совпадают с датами в графике.

Единицы измерения тоже.

Поэтому просто делаем тык-тык по графику. Находим, что наибольшая цена 19200, а наименьшая 18350.

Аккуратно, но быстро, столбиком, вычитаем из одного другое, и получаем ответ.

Ответ: 850

№3.

Снова делаем тык-тык по картинке и находим центр квадрата. Считаем, сколько клеточек от центра до вершины. Пишем в ответ.

Если бы нас спрашивали про вписанную окружность, считали бы, сколько клеточек до середины стороны.

Ответ: 3.

№4.

Вот это заебись, богоугодная хуйня. Я надеюсь, вы помните задачу про Олю из прошлого разбора. То, что нам предлагают теперь — её продвинутая версия.

Вероятность попадания у системы, конечно, не очень высокая, однако явно выше, чем у Олиного физрука, да и ствол подлиннее.

Давайте найдём вероятность промаха для первого выстрела:
1 — 0,3 = 0,7

Для последующих:
1 — 0,7 = 0,3

И для всех сразу:
1 — 0,98 = 0,02

Вспоминая Олю, придём к выводу, что
0,7*0,3*0,3*0,3….*0,3 ≤ 0,02

Остаётся узнать, сколько раз нужно взять 0,3. Вообще, для таких случаев люди придумали степени, но если без них, то

0,7*0,3 = 0,21 > 0.02
0,7*0,3*0,3 = 0,063 > 0.02
0,7*0,3*0,3*0,3 = 0,0189 < 0,02

Таким образом, чтобы достичь необходимой нам вероятности, достаточно сделать всего 4 выстрела.

Ответ: 4

№5.

Эм, ну, тут нам нужно прологарифмировать, ввести тригонометрическую замену, найти производную от получившейся функции, посчитать точки экстремума и суициднуться от того, что мы страдаем хуйнёй.

На самом деле, очевидно, что 49 это 7 в квадрате. То есть
х-2 = 2
х = 4

Хотя прологарифмировать тоже можно.

Ответ: 4

№6.

Наверное, вы догадываетесь, что внешний угол при одной вершине треугольника равен сумме двух внутренних при других. Тогда легко посчитать:
102 - 48 = 54

Ну а если не догадываетесь, то можно выразить внутренний угол В и посчитать через сумму всех углов треугольника.

Ответ: 54

№7.

Бля, а вот тут сложно. Короче, если вы не знаете, то f(x0) это тангенс угла между касательной и осью ОХ.

Ну тут по графику видно, что касательная проходит 6 клеточек по оси ОY одновременно с тем, как проходит 4 клеточки по оси ОХ. Так что тангенс угла — 6/4, проще говоря, 1,5.

Ответ: 1,5

№8.

Даже если вы не знаете формулу объёма цилиндра, вы знаете формулу объёма цилиндра. Это площадь круга основания на высоту. Площадь круга, как вы, наверное, знаете, пропорциональна квадрату радиуса.

Поэтому всё, что касается радиуса, мы возводим в квадрат, а всё, что касается высоты, оставляем, как есть.

Выходит, что нам 1 надо умножить на 3 и разделить на 4.

Ответ: 0,75

№9.

Давайте сразу.

135 = 27*5
5,4 = 27/5

Вы же знаете, что логарифм произведения равен сумме логарифмов, а логарифм дроби равен разности логарифмов?

С вашего позволения, в дальнейшей записи я буду писать просто log вместо log по основанию 5.

log135 - log5,4 =
log(5*27) - log(27/5) =
log5 + log27 - (log27 - log5) =
log5 + log27 - log27 + log5 =
2log5 =
2

Ответ: 2

№10.

Ну тут всё заебись, это даже не неравенство. Тупо подставляем значения и считаем.

60 = 4*30*cosα
cosα = 60/120
cosα = ½
α = 60°

Ответ: 60

№11.

Возьмём, что P — мощность рабочего.

Весь объём работ — время одного рабочего на мощность одного рабочего, то есть 15P.

Рабочих двое, так что их суммарная мощность — 2P.

Первый рабочий за 5 часов проделал 5P.

Осталось ещё 10P.

10P/2P = 5. Столько часов они работали вместе.

Всего работа заняла у них 5+5 = 10 часов.

Ответ: 10

№12.

Продифференциируем.

Злоебучая производная скажет нам, что функция возрастает на любом промежутке:

у' = 9 — 8cosx,
cosx ≤ 1,
9 - 8 = 1 > 0, т.е. производная всегда больше 0.

Таким образом, наибольшее значение функции достигнется в последней точке промежутка. То есть при х = 0.

Подставим в функцию:

у = 9*0 - 8sin0 + 7
y = 0 - 0 + 7
y = 7

Ответ: 7

Пойдём на вторую часть.

№13.

Тут всё заебись, сегодня на алгебре решал такое же.

а) 2sin²x - 3cosx - 3 = 0
2(1 - cos²x) - 3cosx - 3 = 0
2 - 2cos²x - 3cosx - 3 = 0
2cos²x + 3cosx +1 = 0

D = 9-8 = 1

cosx = (-3±1)/4 = -0,5; -1

Если cosx = -1, то

x = π + πk; k€Z

Если cosx = -½, то

x = ±2π/3 + πn; n€Z

б) Тут, короче, видно, что корнями на промежутке [π; 3π] будут:
π
3π
2π + 2π/3 = 8π/3
2π - 2π/3 = 4π/3

Я, кстати, долбоёб: случайно поменял местами 3π/2 и 5π/2. Здесь, однако, это не сыграло никакой роли, так как корни расположены симметрично относительно оси косинусов.

Ответ:
а) x = π + πk; k€Z;
x = ±2π/3 + πn; n€Z;

б) π; 4π/3; 8π/3; 3π.

Стереометрию оставим на конец, и сразу перейдём к неравенствам. К слову, на экзамене рекомендую поступить точно так же.

Кроме того, №13, 15 и 17 лучше сразу писать в чистовик, если вы абсолютно в них уверены.

№15.

Что я вам хочу сказать. Это неравенство — пиздец ебаный. Я всрал его, когда прорешивал вариант. Всрал по времени, так как вычисления там долгие и муторные.

До пизды лениво идти за тетрадью, но в тексте я вам решение не передам.

Попытался расписать всё максимально подробно. Если что-то не поняли — ваши проблемы. Разбирайтесь.

№17.

Экономическая задача. Давайте разбираться.

Сразу смотрим, когда клиент взял кредит. 15 января. Дальше по условию видим, что кредит сначала увеличится на 2%, а потом клиент его частично гасит.

Теперь обратим внимание на условие под третьей точкой. Это условие можно записать так:

И последнее условие — за последние двенадцать месяцев он обязан выплатить 1,695 млн рублей. По всем законам логики, эта сумма — сумма долга на 13-й месяц.

Но нет. Если подгонять задачу под красивый ответ, можно прийти к выводу, что под «обязан выплатить» составители подразумевают «выплатил», иначе говоря,
х13+х14+х15+х16+х17+х18+х19+х20+х21+х22+х23+х24 = 1,695

Ещё вас может смутить то, что я везде пишу 13, хотя 24-12 = 12. Меня бы смутило. Я думаю, это не требует лишних объяснений, но, если что, просто посчитайте количество слагаемых в выражении выше.

Итак, давайте сложим уравнения XIII-XXIV:

В первой строке я просто скомпоновал результат сложения. Во второй строке заменил все S[n] на (25-n)S[24], а сумму иксов на данное нам число. В третьей сложил коэффициенты, думаю, это не сильно сложно, и объяснять не нужно. Ну и дальше пошли арифметические вычисления.

Итак, мы знаем 13,56S[24], а нам нужно, по условию, найти S[1], то есть 24S[24].

№19.

19 номер это номер, на котором можно отдохнуть и, одновременно с тем, размяться перед геометрией и параметром. Так что почему бы нам не решить, для начала, его?

а) Да.

2, 3, 6, 24.
1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 =
12/24 + 8/24 + 3/24 + 1/24 =
24/24 =
1

б) Да.

2, 3, 7, 42.
1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 =
21/42 + 14/42 + 6/42 + 1/42 =
42/42 =
1

Тут просто подбором, искать какие-то закономерности — ненужная трата времени.

в) Возьмём, что c=d. Тогда всё выражение сведётся к

1/a + 1/b + 2/c = 1.

Заметим, что все числа a, b и с не могут быть одновременно больше четырёх, так как тогда выражение слева будет явно меньше 1. Если же они все равны 4, то всё замечательно сходится.

С другой стороны, ни одно из них точно не является 1, а с точно не равно 2.

Таким образом, среди этих чисел точно есть 2 и 3, причём c — точно не равно 2, а a и b находятся в совершенно равносильных позициях, поэтому они взаимозаменяемы.

Давайте приведём всё к общему знаменателю abc и выкинем его.

bc + ac + 2ab = abc.

Рассмотрим три случая:

1) c = 3.

3b + 3a + 2ab = 3ab
3b + 3a - ab = 0
ab - 3a - 3b = 0
ab - 3a - 3b + 9 - 9 = 0
a(b-3) - 3(b-3) = 9
(a-3)(b-3) = 9

(Да, до четвёртой строки невозможно додуматься, не зная, так что просто запомните)

9 имеет натуральные делители:
1 9
3 3

Отсюда берём:
a=4, b=12, c=3;
a=12, b=4, c=3;
a=6, b=6, c=3.

Это вроде понятно.

2) а = 2 или b = 2.

bc + 2c + 4b = 2bc
2c + 4b - bc = 0
bc - 2c - 4b = 0

Давайте повторим тот прикольный трюк, перемножив коэффициенты при c и b:

bc - 2c - 4b + 8 - 8 = 0
c(b-2) - 4(b-2) = 8
(c-4)(b-2) = 8

8 имеет делители:
1 8
2 4

Берём:
a=2, b=3, c=12;
a=2, b=10, c=5;
a=2, b=4, c=8;
a=2, b=6, c=6.

И точно такие же, только а и b поменять местами. Но их учитывать не нужно, так как они повторяют эти.

3) a = 3.

bc + 3c + 6b = 3bc
3c + 6b - 2bc = 0
2bc - 3c - 6b + 9 - 9 = 0
с(2b-3) - 3(2b-3) = 9
(c-3)(2b-3) = 9

Делители 9 мы уже вспоминали:
1 9
3 3

Отсюда:
a=3, b=2, c=12;
a=3, b=6, c=4;
a=3, b=3, c=6.

А дальше аналогично пункту 2.

В ответ запишем все найденные числа без повторов:

4 12 3 3
6 6 3 3
2 3 12 12
2 10 5 5
2 4 8 8
2 6 6 6
3 6 4 4

Я считаю, мы молодцы. Лично я научился сворачивать многочлены.

№14.

Осталось всего ещё целых три задачи, а я уже стону от усталости и жду не дождусь, когда этот разбор закончится.

а) В общем-то, тут всё довольно несложно. Если SA — высота пирамиды, то треугольники ASB и ASD — прямоугольные, и для их сторон работает теорема Пифагора.

11 = 27 - 16
11 = 11. Треугольник ASB действительно прямоугольный, с прямым углом при вершине А

11 = 20 - 9
11 = 11. Треугольник ASD тоже.

Поскольку SA перпендикулярна прямым AB и CD, то она перпендикулярна и всей плоскости ABD, то есть является высотой пирамиды SABC, что и требовалось доказать

б) Угол между плоскостью ASB и прямой SC.

Что это за угол? Как его найти?

Перпендикуляр из точки С на плоскость ASB — СВ. Поэтому SC проецируется на плоскость ASB как SB. А угол, который мы ищем — CSB. Искать будем по теореме косинусов.

По условию,
SB = 3√3;
BC = 3

SC² = AC² + AS² — по теореме Пифагора
AC² = AB² + AD² — анал, логично
SC² = AB² + AD² + AS²
SC² = 16 + 9 + 11 = 36
SC = 6

По теореме косинусов,
CB² = SC² + SB² - 2*SC*SB*cos(CSB)
cos(CSB) = (SC²+SB²-CB²)/(2*SC*SB)
cos(CSB) = (36+27-9)/(2*6*3√3)
cos(CSB) = 54/(36√3)
cos(CSB) = 3/(2√3)
cos(CSB) = √3/2
CSB = 30°

Ответ: 30°

Я вам, конечно, рекомендую нарисовать это, чтобы было проще понять. Я сам слишком ленив для этого.

№16.

Прежде чем рисовать рисунок рисулькой в рисовалке к 16 заданию, прочитайте пункт а задачи. Там всегда есть подсказка.

а) Центр параллелограмма — точка пересечения его диагоналей/средних линий. Точки N и L и точки К и M попарно (хз, можно ли употреблять это слово здесь, но ладно) равноудалены от прямых АС и ВD, то есть и от центра параллелограмма. То есть эти точки, по-прежнему, попарно, находятся в равносильных от точки О позициях, а, значит, NL и KM делятся этой точкой пополам.

Я хз, как это грамотно записать, но:
1) Это значит, что диагонали КLMN пересекаются в центре ABCD.
2) Диагонали KLMN делятся точкой пересечения пополам, что является свойством параллелограмма.
3) Точка пересечения диагоналей в параллелограмме — центр параллелограмма.
4) То есть KLMN — параллелограмм, и его центр совпадает с центром ABCD, ч.т.д.

Не знаю, насколько приемлемо такое решение, но вроде норм.

б) Обозначим угол BAD за α. Из свойств параллелограмма:

BCD = α;
ABC = 180° - α;
ADC = 180° - α.

А ещё обозначим AN за х, BK за у.
ND = BL = 2x;
AN = LC = x;
AK = CM = 2y;
BK = DM = y.

S[AKN] = S[CLM] = ½*2y*x*sinα = xy*sinα;
S[BKL] = S[DNM] = ½*y*2x*(sin180°-α) = xy*sinα.

S[ABCD] = 3y*3x*sinα = 9xy*sinα;
S[KLMN] = S[ABCD] - S[AKN] - S[CLM] - S[BKL] - S[DNM] =
9xy*sinα - 4xy*sinα =
5xy*sinα.

S[KLMN]/S[ABCD] =
5xy*sinα/9xy*sinα =
5/9

Ответ: 5/9

№18.

Пиздееееееееееец, как же я устал блять помогите.

Раскрываем модули, нам же больше нечего делать блять.

I)

х > -1
a > -x
х+1+2х+2а > 3-2x

2a > -5x+2
a > -2,5x+1

II)

x > -1
a < -x
x+1-2x-2a > 3-2x

2a < x-2
a < 0,5x-1

III)

x < -1
a > -x
-x-1+2x+2a > 3-2x

2a > -3x+4
a > -1,5x+2

IV)

x < -1
a < -x
-x-1-2x-2a > 3-2x

2a < -x-4
a < -0,5х-2

Итак, имеем четыре промежутка, на каждом из которых своё неравенство.

Короче, пиздец, художник из меня так себе, но, короче, нам подходят все а, которые не попадают в незакрашенную фиолетовым область. Я совсем плохо нарисовал, это надо делать по клеточкам или, хотя бы, не в пэйнте.

В верхней тёмной области, например, розовая палка не пересекает жёлтую палку, я затупил.

Надеюсь, суть решения я вам передал, если нет, пишите в комменты, буду рисовать от руки. Если захотите свериться,

Ответ: а < -1,5.

Спасибо всем, кто дочитал до конца. Это, на самом деле, очень приятно.

Прошлый разбор:
ЕГЭ. Разбор №1

Следующий разбор:
ЕГЭ. Разбор №3