Интегралы 2.0
Дождался весны, наконец-то. Вышел во двор, откопал качелю, теперь сижу на ней, пишу статью. Давно мы с вами ничего не интегрировали, а я как раз сегодня дорешал 101 интеграл.
Что это значит? Это значит, что я в этом интегрировании уже настолько преисполнился, мне все эти замены абсолютно понятны. И сегодня я буду пытаться преисполнить вас.
Начну с предыстории.
Мне было совершенно нечего делать и я искал где что можно порешать.
@thyrondexter скинул мне 101 интеграл от какого-то blackpenredpen (я ютуб не смотрю, так что хз кто это), я скинул их @zythorn, пожалуй, лучшему математику среди моих ровесников в моём городе, с которым мы в последние дни вместе интегрировали.
Он мне говорит, что ему пришла в голову идея: если прорешать все эти 100 и 1 интеграл, можно научиться очень и очень круто интегрировать. И ещё говорит, что решит их все до конца месяца. Или за месяц. Непонятно.
Я подумал и понял, что это действительно шикарная идея. И сказал, что решу за неделю. Или не сказал, а просто подумал.
Но решил. Разница, в общем-то, только в том, что он решает по-нормальному, проверяя каждый ответ, а я решил всё через жопу. Ну и ещё он всё красиво расписывает и публикует у себя на стене. Заходите к нему в конце апреля, там будут все интегралы с решениями.
А мне придётся писать всё по новой, потому что если я буду показывать вам свою тетрадь с уже готовыми решениями, только сильнее вас запутаю.
Надеюсь, я смогу разобрать с вами хотя бы двадцать интегралов, иначе смысла от этой статьи не будет.
Давайте решать.
Я учил вас интегрировать дроби, в которых знаменатель раскладывается на множители. Сможете ли вы расписать знаменатель этой дроби на множители? Разве что только с комплексными числами. Это, кстати, можно использовать, но придётся пострадать.
Есть намного более приятный способ. Давайте запишем это в виде
(x + a)² + b²
Это можно сделать абсолютно с любым квадратным трёхчленом. Как мы это будем делать?
(x + a)² + b² = x² + 2ax + a² + b²
Смотрим на наше уравнение и видим, что
2а = 4
a²+b² = 29
Ну вот и всё.
a = 2
b = 5
Запишем.
А теперь введём замену x+2 = t.
x' = (x+2)' =>
dx = dt
Запишем.
Опа, табличный интеграл. Ну, у меня в таблице есть такое. Хотя мне лень это запоминать.
Да и вообще, скучно останавливаться на этом. Я люблю дорешивать до конца. Введём замену.
t = 5tgr.
Сейчас это может быть не совсем понятно, но в конце статьи, я надеюсь, вы будете обожать вводить эту замену. Так вот, введём эту самую замену.
dt = d(5tgr) =
(5tgr)'dr =
5dr/cos²r
Красиво.
Пытался расписать всё максимально подробно, так что проблема может быть только с обратной заменой.
Зная, что t = 5tgr, выразим r.
5tgr = t
tgr = t/5
r = arctg(t/5)
Ну а как выражается t через х, вы знаете.
Ну вот мы и решили интеграл.
Сразу запомните, что если вы вдруг видите что-то типа x²+a², особенно если под корнем, то очень логично применить замену x = atgt, потому что
a²tg²t + a² = a²/cos²t,
что в случае чего можно вынести из под корня или перевернуть из знаменателя в числитель.
Знаете ли вы, что почти любой многочлен четвёртой степени можно расписать на произведение многочленов второй степени?
(x⁴ - x² + 1) =
(x² + bx + c)(x² + px + q) =
x⁴ + (b+p)x³ + (bp + c + q)x² + (bq + cp)x + cq
b, c, p, q — просто числа, которые мы хотим подобрать. Поэтому мы можем записать следующую систему:
b + p = 0
bp + c + q = -1
bq + cp = 0
cq = 1
Решать я это, с вашего позволения, не буду, просто скажу, что это коэффициенты имеют следующие значения:
c = q = 1
b = -p = √3
Это здорово. Запишем.
Что думаете? Дальше вообще шикарно. Помните как раскладывать такую дробь на две дроби?
Я писал об этом когда-то здесь. Тут тот же принцип. Записываем две дроби с неизвестными коэффициентами a и b, приводим к общему знаменателю, откидываем знаменатель, раскидываем коэффициенты по степеням х и решаем систему. В данном случае, она решатся.
Используем это.
Кажется, мы только что решали такое же говно, только без корней. Поскольку я ленивая жопа, я просто запишу вкратце решение, а вы на примере прошлого интеграла его сами разберёте.
Разобрал только второй интеграл, но уже заколебался.
Теперь давайте к тригану. По большей мере им я с вами и хочу сегодня заняться. Начнём с простого.
tanx это по-нашему tgx/
tgx = sinx/cosx
secx = 1/cosx
Это для тех, кто не знает.
Расписал всё более чем подробно, поэтому так много. Если честно, я бы оставили в ответе косинусы, но с секансами выглядит приятней. Надеюсь, достаточно понятно.
Ну это совсем несложно. Справится любой человек, который знает, что
cosxdx = dsinx
Тут тоже всё очень подробно, разбирайтесь.
Вы, вероятно, не догадываетесь, но с этой строки начинается та часть статьи, которую я пишу на третий день с того момента, как я начал писать её вообще. Сейчас 20:21, но я только сел писать статью, потому что весь день делал дз по английскому. КАК ЖЕ Я УСТАЛ!
Ладно, продолжаем интегрировать.
sin2x = 2sinxcosx, надеюсь, вы это знаете.
А дальше всё сводится к интегралу из secx.
Я дошёл в интегрировании до определённого перехода (третья строка), после которого можно воспользоваться теми методами, которые мы использовали выше, или же просто посмотреть в таблице.
Возможно, вам было бы удобнее, если бы я ввёл замену, но стоит учится в элементарных случаях обходиться без неё. Отдельное внимание обратите на свойства модуля и логарифма.
- Я избавился от минуса снаружи, перевернув дробь внутри логарифма, то есть возведя её в степень -1.
- Я заменил выражение sinx-1 на противоположное ему 1-sinx, пользуясь тем, что оно находится под модулем
- Я домножил числитель и знаменатель дроби на 1+sinx, в результате чего в знаменателе всё свелось к cos²x, а в числителе — к (1+sinx)².
- Я вынес степень из логарифма, чем избавился от коэффициента ½. На самом деле, можно было всё оставить в первоначальном виде, но мне так больше нравится.
А зачем третья степень? И как это решать?
Выглядит не очень плохо, но едва ли вы приведёте получившийся у вас интеграл к чему-то лучшему, чем к 1/cos³x.
Значит, нужно искать что-то лучше. Вы ещё не забыли, как интегрировать по частям? И ещё не забыли, что dx/cos²x = d(tgx)?
Воспользуемся этим.
Ну и что это за чертовщина? Мы получили тот же интеграл, только со знаком «-» и ещё какой-то долбаниной.
Вы наблюдаете редкое явление, этот интеграл решается через уравнение!
Запишем только то, что было вначале и то, что мы получили в конце.
И перенесём последний интеграл справа влево.
А теперь остаётся только разделить всё на два. Интеграл из 1/cosx мы с вами уже знаем, мы его искали до этого.
Решили.
Абсолютно аналогично предыдущему, просто придётся немного подольше порешать. В общем-то, по этому принципу можно уменьшить степень в знаменателе абсолютно любой подобной функции, будь то синус или косинус. И, пожалуйста, будьте аккуратны, когда берёте производные в уме.
Поскольку многие рациональные функции с помощью замен можно привести к такому виду, эти интегралы для нас просто бесценны.
Думаю, вы заметили закономерность и сможете решить любой интеграл вида (secx)^n даже не прибегая к непосредственному интегрированию.
Вы можете заметить, что я снова использовал сопряжённый множитель. Обычно его используют, чтобы избавиться от корней в знаменателе, но с триганом он тоже часто играет на руку. Как видите, тут я смог свести много член к одно члену. А с числителем всегда можно разобраться. Ну а дальше идут достаточно простые действия.
А теперь позвольте показать вам похожий интеграл, только определённый.
Снова домножим на сопряжённое выражение, чтобы получить в знаменателе косинус.
Мы получили прекрасный ответ для неопределённого интеграла, но у нас не получается его определить. Косинус из π/2 равен нулю, а на ноль делить нельзя.
Самое интересное, что первоначальная функция под интегралом существует при данном значении, причём довольно близко к оси ОХ, если можно так рассуждать. Но когда мы домножили её на (1-sinx)/(1-sinx), мы ввели ОДЗ:
1-sinx ≠ 0, или
cosx ≠ 0
Этого ограничения не было в самом начале, поэтому мы должны убрать его в конце.
Теперь ОДЗ совпадают и мы можем дорешать интеграл.
Это заставило меня задуматься, сколько раз я делал также, и оставлял ответ как есть. Вероятно, намного более правильно приводить к такому виду любой интеграл, даже неопределённый.
С другой стороны, во время решения вы можете пренебрегать любыми ОДЗ, вероятно. Мне доводилось вводить замену sinx = 1/sint, за которую я сам бы себя побил на месте любого математика.
Тем не менее, ответы выходили красивыми, правильными и по ограничениям полностью совпадающими с первоначальной функцией.
Ну, вероятно, теперь вы с триганом как-нибудь совладаете, так что пришло время разобраться, зачем я так акцентирую внимание на тригонометрии.
Что думаете о этих трёх интегралах? Они все есть в моей таблице, но как их вывести?
Разберём по очереди.
В первом у нас √(1-x²) в знаменателе. Мне кажется, тут достаточно хорошо видно, что чтобы уйти от иррациональности, нужно ввести замену
x = sint или
x = cost
Давайте синус.
Ну разве не здорово? Единственное, я бы при выносе косинуса из под корня, оставил бы модуль. Но в справочниках под арксинусом его нет, не знаю, почему.
Во втором интеграле у нас наоборот √(x²-1) в знаменателе. Тут мы уже не очень-то имеем право вводить замену x = sint, потому что по ОДЗ они совершенно разные (хотя с sinx=1/sint меня это не остановило).
Зато очень удачной идеей будет ввести замену
x = 1/sint или
x = 1/cost
В этот раз я за второй вариант
Страшненько, но знакомо. Выразим cost через х.
x = 1/cost
cost = 1/x
Вашему вниманию, «длинный логарифм». Если вы знакомы с гиперболическими функциями, иначе это — ареакосинус, функция, обратная гиперболическому косинусу. archx выглядит приятнее, чем эта длинная штука.
Так, теперь давайте к последнему, я хочу спать.
Там под корнем знак плюс, а от плюса мы избавляемся с помощью тангенса, потому что
tg²x + 1 = 1/cos²x
Это тоже «длинный логарифм», только этот называется ареасинусом. Можно записывать как arshx.
Давайте ещё посмотрим пару примеров.
Не знаю как вам, а мне прям очень хочется расписать его в виде
(x+2)²+3²
Мне кажется, автору тоже очень хочется, чтобы мы сделали это.
Почему я зачеркнул (9/2)ln3?
Потому что это просто какое-то число, а любое число в интеграле можно засунуть в С.
Надеюсь, вы уже заметили, как я превращаю косинусы в тангенсы, чтобы сделать обратную замену. Это часто может пригодиться.
Я выработал в себе ужасную привычку везде вводить тригонометрическую замену. И этот интеграл я решал через тригонометрическую замену. На самом деле, он решается в одно действие:
Я расписал это чуть более подробно, поэтому действий оказалось больше.
А вот это уже не решить никак кроме замены. Мы выяснили, что когда у нас в скобках плюс, нам нужен тангенс. Его и вводим внутривенно.
Ура, я уже боялся, что нигде не встретится. Я научил вас понижать степень у косинусов и синусов в знаменателе, но не научил делать это в числителе, хотя это пожалуй, важнее.
Нечётную степень всегда можно убрать по такому алгоритму:
Тут вы видите, что при возведении двучлена в скобках в степень n останутся одни лишь функции степени sinx, которые легко интегрируются с этим дифференциалом.
С чётной степенью нужно просто знать формулы тригонометрии.
cos2x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x
отсюда
сos²x = (cos2x + 1)/2
sin²x = (1 - cos2x)/2
А дальше по аналогии.
Используем.
Красиво.
Возможно, возник вопрос, почему у меня вместо sin2t вдруг появились тангенсы. Это из универсальной тригонометрической подстановки, в любой момент её можно загуглить или с кровью и потом вывести самому. Остальное вроде понятно.
Ну и напоследок отвлечёмся от тригана и посмотрим сюда:
Я решил этот интеграл довольно просто, вот так:
Но мой знакомый, на которого я кидал ссылку вначале, решил более извращённым способом, и я был в шоке, что так можно делать.
Этот способ, очевидно, сложнее моего, но намного красивее. И суть не в сложности, а в том, что действительно можно использовать не только свободный коэффициент, но и коэффициент при х.
Я очень давно задавался вопросом, как это сделать и вчера нашёл ответ. Предлагаю вам запомнить, это может пригодиться.
На этом всё, я безумно устал а ещё — НЕВОЗМОЖНО писать статьи без матов. Я выдержал этот текст до конца, просто потому что бросил себе вызов, но впредь я на такое не способен.
Если кому-то не совсем понятно, как интегрировать или брать производные (что очень важно в интегрировании) в принципе, в 2019 году я писал на эту тему целый цикл статей. Они, вроде, все связаны хэштегом
#Интегралы@mathemynka
Как же я устал…