О точных аналитических решениях уравнений Навье–Стокса
УДК 628.1(075)
Выскребцов Владислав Георгиевич
к.т.н., доцент
Московский политехнический университет, Москва
Аннотация. Рассматривается метод нахождения точных решений уравнений движения вязкой сплошной среды (уравнений Навье–Стокса). Метод состоит в применении локальной системы ортогональных криволинейных координат (с позиции Лагранжа, а не Эйлера). В итоге этого уравнения движения элементарной жидкой частицы записываются через производные скорости и радиусы кривизны ортогональной сети линий, одно из семейств которой образуют линии тока. Кроме того, выводится правило перекрёстного некоммутативного дифференцирования вдоль криволинейных линий ортогональной сети. При таком подходе уравнение неразрывности оказывается пропорцией между производной от скорости течения и скоростью течения, что можно рассматривать как формулу понижения порядка дифференцирования. Исключая значение давления с помощью перекрёстного дифференцирования, получаем дифференциальное уравнение, названное «основным». Дифференцируя это уравнение вдоль линии тока и понижая затем его порядок, получаем второе уравнение того же типа, что и «основное». Сравнивая коэффициенты двух этих уравнений, получаем соотношения между радиусами кривизны ортогональной сети, которые и определяют возможные точные решения уравнений Навье–Стокса. Из проведённого анализа следует, что возможные точные решения этих уравнений могут иметь лишь плоские или осесимметричные траектории.
Ключевые слова: Уравнения Навье–Стокса, точные решения, траектории течения, сплошная среда.
Единственным аналитическим уравнением движения частиц сплошной среды является (в векторном виде) так называемое уравнение Навье–Стокса. Это уравнение получено по принципу, впервые использованному Л.Эйлером, который для этого рассматривал криволинейный воображаемый прямоугольный параллелепипед сплошной среды, имеющий массу, на грани которого действуют нормальные силы (силы внутреннего давления), а также силы тяжести. В результате были получены (для трёх координат) три уравнения в частных производных без учёта свойства вязкости. В дальнейшем Навье и Стокс ввели (соответственно в 1821 г. и в 1845 г.) в рассмотрение силы вязкости, действующие не перпендикулярно граням параллелепипеда, а параллельно им, при условии, что величина этих сил (касательных напряжений) пропорциональна градиенту изменения скорости движения точек сплошной среды [1]. Среда с такими свойствами, которые, как это считается, отражает свойства реальных жидкостей (таких как вода, органические минеральные масла и многие другие), получила название Ньютоновской жидкости. При описанном подходе оказывается, и далее это будет доказано, что невозможно учесть моменты кручения, действующие на рассматриваемую жидкую частицу.
Помимо указанного подхода Л.Эйлера, возможен и другой, впервые указанный Лагранжем. Принципиальная разница между ними состоит в том, что при подходе Л.Эйлера используется неподвижная, общая для всех частиц движущейся сплошнойчастицы. среды система координат, а при подходе Лагранжа используется система координат, связанная с рассматриваемой частицей. Различие между указанными подходами аналогично различию при получении данных о состоянии атмосферы путём использования наземных метеостанций и при использовании шаров-зондов [2].
Далее, в основном, будет применяться подход Лагранжа, причём в качестве координатных линий принимаются криволинейные линии тока, а также семейство линий, ортогональных к линиям тока. В качестве третьего семейства координатных линий используются линии, ортогональные к линиям первых двух семейств. Начало такой системы естественных локальных координат всегда находится в точке траектории рассматриваемой частицы и при её перемещении перемещается вместе с ней.
Вначале рассмотрим силы, действующие на жидкую частицу с использованием подхода Л.Эйлера [3]. Если рассмотреть, используя подход Эйлера, воображаемую частицу сплошной среды в виде параллелепипеда с прямолинейными гранями а, b и c, то момент инерции этого параллелепипеда относительно оси 0х, проходящей через его центр тяжести параллельно грани а будет равен: J = M (a2 + b2)/12. Здесь М – масса среды, ограниченной параллелепипедом, определяемая как произведение плотности среды на объём частицы. Поэтому, если по прежнему обозначить через l длину характерного размера указанного дифференциально малого параллелепипеда, то его момент инерции J будет иметь пятый порядок малости, т.е. пропорционален l в 5 степени.
Вместе с тем, как это можно показать при рассмотрении дифференциально малого (элементарного) прямоугольного параллелепипеда, крутящий момент, действующий на грани параллелепипеда за счёт касательных напряжений, будет иметь четвёртый порядок.
Для этого в соответствии с учебником для вузов Н.З.Френкеля [3] рассмотрим касательные силы, действующие на гранях дифференциально малого элементарного параллелепипеда с прямолинейными сторонами δx, δy и δz, которые параллельны соответствующим осям декартовой прямоугольной системы координат 0xyz (рис.1). Обозначим через δТi силы трения, действующие на гранях параллелепипеда. Тогда проекции этих сил на оси координат (поскольку среда ньютоновская) будут равны:
Проекции остальных сил на ось 0х равны нулю, т.к. их направления перпендикулярны к оси проекции. Отсюда равнодействующая касательных сил, образующая вращающий момент относительно оси 0х, равна:
Если теперь, как и ранее, обозначить через l длину характерного размера указанного дифференциально малого параллелепипеда, то из написанного ясно, что порядок малости равнодействующей касательных сил имеет малость третьего порядка, и соответственно сам вращающий момент имеет четвёртый порядок малости, т.е. l4.
Таким образом, изложенное позволяет сделать вывод, что описанный подход к рассмотрению дифференциально малого параллелепипеда сплошной среды в принципе не позволяет найти уравнение связи для сил инерции вращения и внутренних касательных напряжений частиц сплошной среды. Вследствие этого уравнения Навье–Стокса не должны описывать траектории движений частиц сплошной среды, имеющих кручение. Т.е. они могут описывать в силу особенностей вывода этих уравнений только плоские траектории (не имеющие кручения).
Тот же вывод вытекает и из рассмотрения особенностей траекторий движения частиц сплошной среды, обладающих кручением. Для этого опять рассмотрим дифференциально малый прямолинейный прямоугольный шестигранник, на грани которого действуют внешние силы – рис.2 [1].
Частицы среды, втекающие через грань «0246», имеют линии тока, которые имеют кручение χ. Поэтому частицы среды из точки «0» при движении попадают не в точку «1», а в точку 1*, отстоящую от плоскости 0xy на расстоянии χ/R (ΔS3/6). Все частицы, втекающие между ребром «02» и параллельной ему линией «а–а» не могут быть частицами, выходящими через грань «1357» именно вследствие геометрических причин, поскольку линии тока не являются координатными линиями.
Сказанное верно не только для материальных частиц, втекающих через грань «0246», но и через, например, грань «0145». Поэтому, поскольку частицы сплошной среды, втекающие в элементарный малый прямоугольный прямолинейный шестигранник и вытекающие из него, являются разными, то к массе среды, ограниченной элементарным шестигранником, неприменим закон движения Ньютона, т.к. он справедлив лишь только для материальных тел с постоянной массой [5]. В общем случае, когда материальные частицы двигаются по траекториям, не перпендикулярным плоскости 0xy, а, например, по траекториям, пересекающими плоскость «0145» высказанное утверждение о различности частиц в пределах шестигранника становится очевидным. Отметим ещё, что переход от прямоугольной декартовой системы координат к цилиндрической системе или к сферической системе координат не меняет сделанного вывода вследствие того, что указанные системы координат используют в качестве координатных линий только плоские линии, не имеющие кручения (с кручением, равным нулю).
Таким образом уже при выводе уравнения движения по принципу Л.Эйлера оказывается, что при этом могут быть описаны только такие течения, траектории движения частиц которых не имеют кручения.
Но положение меняется, если рассматривать криволинейный дифференциально малый ортогональный шестигранник «01234567», у которого координатные линии могут иметь кручение (рис.3).
Рёбрами криволинейного дифференциально малого ортогонального шестигранника «01234567» на рис.3 служат координатные линии, которые описываются в естественном виде через длину линии, её радиус кривизны и кручение. Т.е. три взаимно ортогональные координатных линии определяются тройками , и , где соответственно χ, σ и ζ – кручения линий. В точке 0 начала локальной системы координат соприкасающаяся плоскость третьей линии составляет угол θ с плоскостью 0yz локальной прямоугольной декартовой системы 0xyz. Линии всех трёх ортогональных друг другу семейств выбраны так, что они образуют грани ортогонального криволинейного шестигранника [4].
Очевидно, что поскольку линии «01»,«23»,«45» и «67» являются линиями тока, то количество сплошной среды, втекающей через грань «0246», равно количеству среды (расходу), вытекающей через грань «1357». И частицы, втекающие через грань «0462», те же, что и вытекающие через грань «1357». Так что, для такого шестигранника уже может быть справедливо уравнение движения Ньютона. В случае же использования координатных линий, не обладающих кручением, уравнения движения, составленные для дифференциально малого шестигранника, могут описывать лишь плоские и осесимметричные течения [4, 6]. Но, как уже было доказано с использованием разных методов математического анализа (дифференциальной геометрии и тензорного анализа), точные решения уравнений Навье–Стокса могут иметь лишь два типа плоских траекторий движения – это прямые линии или окружности [4, 7]. Но этот факт полностью игнорируется, например, при составлении программ для применения численных методов решения уравнений Навье–Стокса и неявно считается, что всё дело в быстродействии и размере памяти компьютеров. И до сих пор, несмотря на использование многочисленных различных численных методов, лежащих в основе очень модных и рекламируемых (и дорогих) сейчас пакетов программ MSC/NASTRAN, CFX, FLUENT, STAR-CD, LS-DYNA, ANSYS, ABAQUS, FlowVision, MSC/MARC, MAGMASOFT, SolidWorks, Сosmos и др. (в которых используются как метод сеток, так и метод конечных элементов), не удаётся получать достаточно точные результаты, т.к. в основе их лежат уравнения Навье–Стокса, которые, как показано выше, не являются достаточно точной моделью вязкой жидкости. Всего таких пакетов программ в настоящее время известно уже около двух десятков и их число с каждым годом растёт, что уже само по себе свидетельствует о том, что ни один из упомянутых продуктов не имеет преимуществ перед другими, по крайней мере, при решении уравнений Навье–Стокса. А между тем решение этих уравнений объявляется иногда очень важным, например, «шестой задачей тысячелетия»; «… поиск решений уравнений Навье–Стокса в трёхмерном пространстве при синтезе сложных технических задач, оптимизации конструкции и управления процессами»[8]. Проблема достаточно важна и поэтому далее опишем метод получения точного аналитического решения уравнений Навье–Стокса.
Продолжение и полный текст статьи опубликован на сайте автора: https://vyskrebtsov.su/