Интервью с А.Е. Мироновым

С 1 сентября коллектив нашего факультета пополнило сразу несколько ярких математиков, с которыми мы хотим вас познакомить.

Профессор МКН Фёдор Владимирович Петров побеседовал с профессором, членом-корреспондентом РАН, лауреатом премии им. А.М. Ляпунова РАН, приглашённым докладчиком на Международном конгрессе математиков, автором более 75 научных публикаций в области интегрируемых систем, геометрии и математической физики Андреем Евгеньевичем Мироновым.

Фёдор Петров: Добрый вечер. Мы начинаем серию интервью с нашими новыми сотрудниками. Я — Фёдор Петров, мой собеседник — Андрей Евгеньевич Миронов. Расскажите, пожалуйста, чем вы занимаетесь, так, чтобы это было понятно достаточно широкому кругу математиков — не только специалистам по интегрируемым системам, по бильярдам, по геометрии.

Андрей Миронов: Я занимаюсь разными задачами. Наверное, в той или иной степени все задачи связаны все-таки с геометрией.

ФП: То есть вы себя ощущаете геометром?

АМ: Скорее да, скорее геометром. Основные задачи, которыми я занимаюсь, я бы назвал следующие: коммутирующие дифференциальные операторы — обыкновенные и в частных производных. Эта задача связана с построением солитонных или алгеброгеометрических решений солитонных уравнений. Есть очень сложные нерешённые задачи. Задача нахождения так называемых коммутирующих дифференциальных операторов высокого ранга.

ФП: У Вас есть очень знаменитая статья в Inventiones про ранг 2, да?

АМ: Да, про ранг 2.

ФП: Какие-то с тех пор были продвижения, может быть, у других математиков или у вас?

АМ: Ранг коммутирующих дифференциальных операторов — это примерно следующее: если два обыкновенных дифференциальных оператора коммутируют, то их совместные собственные функции образуют векторное расслоение над спектральной кривой, над некоторой алгебраической кривой. И вот ранг этого расслоения — это и есть ранг коммутирующих операторов. Если расслоение линейное — ранг один, такие операторы найдены Кричевером. Там совместные собственные функции, это функции Бейкера–Ахиезера, они выражаются через тэта-функцию многообразия Якоби спектральной кривой.

А вот если ранг больше единицы, есть только теорема существования, классификации таких операторов. Как в общем виде их находить, совершенно непонятно, но есть частные результаты. Самый замечательный результат принадлежит Кричеверу и Новикову. Они построили операторы ранга 2 в случае эллиптической спектральной кривой. Мохов, используя их результаты, построил операторы ранга 3, тоже отвечающие эллиптической спектральной кривой. В частности, среди операторов, которые нашли Кричевер и Новиков, были операторы с полиномиальными коэффициентами. Такие операторы образуют коммутативную подалгебру в первой алгебре Вейля.

Сергей Петрович мне рассказывал такую историю: когда они нашли эти операторы — а там коэффициенты довольно сложно выражаются через функциональный параметр, — он говорит: я счастливый и довольный пошел к Гельфанду, показал ему этот результат. Гельфанд у него спрашивает: а как среди твоих операторов увидеть операторы с полиномиальными коэффициентами? Дело в том, что коэффициенты выражены через эллиптические функции, и внутрь еще запрятан функциональный параметр. Он эту задачу дал Гриневичу, и Гриневич сумел подобрать эллиптическую кривую и функциональный параметр так, чтобы получились операторы с полиномиальными коэффициентами. И Гельфанд популяризовал такую задачу, мне это рассказывал Мохов: а бывают ли коммутативные подалгебры в первой алгебре Вейля, когда между двумя элементами существует алгебраическое соотношение, которое определяет алгебраическую кривую рода 2 и больше? И эту трудность непонятно, как преодолевать. Кричевер и Новиков придумали так называемое уравнение на параметры Тюрина, которые параметризуют векторное расслоение на алгебраической кривой. Но эти уравнения очень сложно и непонятно как решать. А мне удалось найти метод, при котором иногда эти уравнения можно решать. И вот эта статья в Инвенционес — там были построены примеры операторов с полиномиальными коэффициентами, отвечающими гиперэллиптической кривой произвольного рода. А потом данная идея развивалась, многие мои коллеги придумали и другие примеры. Но это был первый пример оператора с полиномиальными коэффициентами со спектральной кривой рода больше единицы.

ФП: Для любой кривой он строится гиперэллиптической — или для каких-то специальных кривых?

АМ: Для специальных кривых.

ФП: Так а есть понимание: их конечное число, бесконечное? Насколько богатое семейство кривых, для которых он строится?

АМ: Нет, с полиномиальными коэффициентами этого понимания нет. Это неизвестно.

ФП: Да, довольно загадочно. Хорошо! Расскажите, пожалуйста, про свои работы по бильярдам. Вы уже немножко рассказывали, когда комментировали Конгресс. Сейчас можно чуть подробнее.

АМ: Я стал заниматься бильярдами после того, как узнал теорему Лазуткина. Лазуткин — это ленинградский математик, и он в 70-е годы доказал, на мой взгляд, фантастическую теорему. Это теорема типа Колмогорова–Арнольда–Мозера. Он доказал, что если у нас есть выпуклая кривая на плоскости, достаточно гладкая (у него в теореме порядка 500 раз она должна быть дифференцируема, а сейчас эту гладкость понизили, по-моему, до пяти) и кривизна нигде в ноль не обращается. Он доказал, что тогда в окрестности бильярдного стола есть бесконечно много каустик. Каустика — это такая кривая внутри бильярдной области, что если мы берем произвольную точку на бильярдном столе, выпускаем траекторию так, чтобы она касалась каустики, то она после отражения снова касается.
ФП: То есть, например, для эллипса это эллипс?
АМ: Да, софокусный. И вот Лазуткин доказал, что если у нас есть такая кривая, удовлетворяющая его условиям, то каустик бесконечно много. И более того, если мы возьмем их объединение, то получим множество положительной меры. Они там такое канторово множество образуют.
ФП: Но не полной?
АМ: Нет, не полной. И вот когда я узнал эту теорему, она меня настолько потрясла, что я решил что-нибудь попробовать там сделать. И тут есть гипотеза Биркгофа, которая до сих пор не доказана в общем виде. Она утверждает, что если через каждую точку в окрестности бильярдного стола проходит своя каустика, то есть там получается такое расслоение на каустики, то бильярдный стол является эллипсом.
ФП: Каустики заметают всю область?
АМ: Какую-то окрестность бильярдного стола.
ФП: А, даже просто окрестность — и тогда это эллипс?
АМ: Да, тогда это эллипс.
ФП: Это не доказано?

АМ: Это не доказано в общем случае, но есть частные результаты. Один из них нам с Мишей Бялым принадлежит. Миша Бялый — мой друг и коллега, профессор Тель-Авивского университета. Он мне много что рассказал, научил меня в бильярдах. И вот, мы с ним что-то сделали в этом направлении.

И ещё, пожалуй, главная задача, которую я занимаюсь, очень важная — это задача о геодезическом интегрируемом потоке на двумерном торе. Это очень старая задача, очень сложная, ей более 100 лет. Большая задача. Есть два примера метрик на двумерном торе, когда геодезический поток интегрируем. Геодезический поток — это такое семейство отображений из касательного пространства тора в себя. Мы берём точку на поверхности и берём касательный вектор поверхности. И тогда вдоль этого касательного вектора через эту точку можно выпустить геодезическую. Тогда через какое-то время t мы попадем в другую точку на поверхности. И там будет свой касательный вектор. И получается, что мы паре начальной точки и касательного вектора сопоставляем через время t другую точку и касательный вектор. Это геодезический поток. Он интегрируем, если найдется функция на касательном расслоении к тору, которая постоянна вдоль всех траекторий. И эта функция должна быть функционально независимой, естественно, с модулем вектора скорости. Потому что модуль вектора скорости вдоль геодезического потока постоянен. Эта функция называется первым интегралом геодезического потока. И вопрос такой: для каких метрик на торе существует первый интеграл геодезического потока?

Есть только два примера. Первый пример — это когда есть однопараметрическая группа изометрий, то есть когда метрика имеет вид v(x) умножить на (dx квадрат плюс dy квадрат). В этом случае есть полиномиальный интеграл первой степени. И второй пример — это метрика Лиувилля, она имеет вид (λ1(х)+λ2(у)) умножить на (dx квадрат плюс dy квадрат). Там есть интеграл второй степени по компонентам скоростей.

ФП: Интегралы имеются в виду полиномиальные или просто любые?

АМ: Вопрос изначально какой угодно, как его удастся построить или доказать, что таких не существует. Но вот в этих двух примерах первый интеграл — это полиномы по компонентам скоростей. У нас с Мишей Бялым тоже было очень много статей на эту тему, больше пяти точно. Это сводится — если требуется, что интеграл полиномиальный — к вопросу существования периодических решений некоторых квазилинейных систем уравнений. И когда есть глобальные решения, непонятно. Дело в том, что у квазилинейной системы обычно решения опрокидываются. То есть берём начальные данные, сначала решение существует, а потом оно становится многозначным — это типичное поведение. И если применять подход дифференциальных уравнений, то надо вот как-то изучать эту систему. Либо какие-то должны быть другие соображения, связанные с геометрией.

В общем, пожалуй, вот эти три задачи меня больше всего интересуют.

ФП: А в других размерностях это просто, сложно или вообще безнадежно?

АМ: Есть много примеров многообразия, когда геодезический поток интегрируем. Есть пример на сфере метрики, когда геодезический поток интегрируем. Вроде бы существуют метрики, когда полиномиальные интегралы любой степени по компонентам скоростей. В частности, такие метрики связаны с интегрируемыми движениями твёрдого тела с неподвижной точкой, со случаем Ковалевской интегрируемого движения твёрдого тела. По этому движению можно построить метрику на сфере с полиномиальным интегралом четвёртой степени, например. А для тора очень просто формулируется, но она очень сложная.

ФП: Спасибо. Это всё очень серьёзные, классические задачи. Вы из петербургских математиков упомянули Владимира Фёдоровича Лазуткина — а из тех, кто сейчас есть у нас на факультете или еще где-то в Петербурге, кого-то можете назвать, с кем вы могли бы сотрудничать и, скажем, кто мог бы стать посетителем Вашего семинара, про который я читал, что он открывается?

АМ: На семинар хотел бы в основном привлечь, конечно, студентов. У меня семинар, не знаю, боюсь ошибиться, но лет 20 существовал в Новосибирске. Он назывался «Интегрируемые системы и их приложения». И мы на этом семинаре много разной тематики разбирали, не только по интегрируемым системам. Здесь я надеюсь тоже, что мы будем изучать различные области геометрии, динамических систем, интегрируемых систем. А с кем бы я хотел сотрудничать? Ну, я знаю, что есть очень сильные аналитики. И у меня есть там ряд задач, надеюсь, что, может быть, мы с ними что-нибудь сможем изучать вместе.

ФП: Да, с аналитиками у нас всё в порядке. Вопрос, который сейчас всем задают: Вы пользуетесь искусственным интеллектом в своих работах?

АМ: Пока нет. Но надеюсь, что буду пользоваться. То есть пока я не пользовался.

ФП: А в вашей области были какие-то достижения интеллекта, на которые все обращают внимание?

АМ: Я знаю, что с помощью искусственного интеллекта была опровергнута гипотеза якобиана трехмерная. Совершенно фантастический результат. Пример очень простой, проверяется руками. Потом, я знаю, что была построена комплексная структура на шестимерной сфере недавно, но это еще надо проверять.

ФП: Там вроде верифицировали в Lean, так что сомневаться, мне кажется, не приходится.

АМ: Ну да. Тоже фантастическое достижение.

ФП: Да, это, конечно, удивительно. А Вы комплексной геометрией сами занимаетесь в какой-то степени?

АМ: У меня алгебраическая геометрия очень часто возникает.

ФП: Хорошо. Вы успели познакомиться с нашими студентами? Может быть, кто-то уже захотел с вами работать?

АМ: Нет ещё. У меня в понедельник будет первый семинар и первая лекция.

ФП: А на каком курсе?

АМ: На втором курсе.

ФП: Ну, как раз самое время. Я правильно понимаю, что одна из ваших постоянных соавторов приехала из Новосибирска к нам?

АМ: Да. Она окончила университет Цинхуа. Это один из лучших университетов в Пекине. Она пока еще в Новосибирске.

ФП: Но приезжает, да?

АМ: Да. У неё 8-го заканчивается контракт, потом нужно получить визу. И я надеюсь, что она будет работать. На мой взгляд, она очень талантливая, и у нас с ней очень интересные результаты получились.

ФП: Ну, замечательно. Хорошо. Что-то, может быть, вы хотели бы передать сотрудникам факультета, студентам, вообще петербургским математикам?

АМ: Ну, я бы хотел сказать, что я очень рад. То, что ко мне очень хорошо отнеслись коллеги, много очень помогают. И у меня не возникло никаких сложностей при переезде. Мне нравится здесь атмосфера, которая существует. Я надеюсь, что будет сотрудничество у нас.

ФП: Да, мы тоже надеемся. Очень рады, что вы к нам присоединились! Спасибо большое. Это был Андрей Евгеньевич Миронов.