Решение задачи про минимальное расстояние между деревнями

Деревни Алексеево и Водники разделены двумя параллельными реками разной ширины. На каждой реке нужно поставить по мосту, так, чтобы путь из одной деревни в другую был наименьшим (при этом мосты перпендикулярны берегам). Как это сделать ?

Недавно мы опубликовали эту задачу в нашем паблике : вот этот пост

Многие подписчики догадались до решения рассуждениями. Но мне хотелось бы сделать чистые математические выкладки по данной задачке. Возможно, кто-то захочет доказательств, кто-то повторит математический анализ вместе со мной, а кому-то просто будет интересно :)

Для начала разметим схему рисунка

Введем некоторые полезные обозначения, которые в нашей задаче будут играть роль постоянных величин:

Составим функцию, которая будет отвечать за суммарное расстояние между пунктами А и B:

Найдем производные этой функции по координатам неизвестных нам точек:

Приравняем производные к нулю для нахождения стационарных точек, которые нужны для поиска экстремума функции двух переменных:

Точки найдены. Здесь мы не исследовали характер экстремума через производные второго порядка. Так как очевидно, что экстремум является минимумом, то нет смысла искать вторые производные и увеличивать количество выкладок. Для простоты мы представляли, что точка А лежит в начале координат, т.е. её координаты были (0;0). Тогда получены точки:

где за постоянные величины обозначены:

Теперь для интереса найдем угловые наклоны дорог:

Наклоны получились одинаковые. Этим мы подтверждаем предположение о том, что задачу можно было решить рассуждениями. Положить ширину рек равной нулям. Соединить конечные точки прямой (как раз получить одинаковый наклон для всех дорог между мостами). А уже затем обратно добавить толщины рек.

Убираем реки и соединяем пункты одним отрезком прямой

Добавляем реки обратно:

Задача решена двумя способами и доказана строго математически.