История Эдипа, а также сложные отношения между математикой и экономикой

Переводчик: Алексей Шакаев

Многие часто критикуют математическую экономику, и, возможно, имеют на это право, однако, с другой стороны, именно математика подчас обманывает ожидания экономики как науки. Цель данного поста — представить аргумент в пользу того, что исторически, драйвером для "физической математики" была интуиция и чутьё, стоящие именно за экономическими проблемами. Также стоит отметить, что, по мнению автора, проблема экономики в том, что она пытается адаптировать матаппарат из естественных наук, вместо того, чтобы создать свой собственный. Метафорически, математика — это Эдип, а экономика — это Царь Лаий (персонаж древнегреческой мифологии, отец Эдипа, прим. пер.). Математика не узнаёт своего отца, отец не узнаёт сына, и в этом и заключается вся трагедия.

Известный экономист и писатель Брайан Каплан считает, что экономическая математика "провалила анализ издержек и выгод", и уверен, что экономическая интуиция гораздо важнее.

В одном из постов в своём блоге он бросил вызов нобелевскому лауреату по экономике, Полу Кругману, попросив того "назвать три важных открытия в сфере экономики, которым мы обязаны экономической математике". Что же, в этом блоге я попытаюсь назвать три важнейших открытия в "физической математике", которая своим развитием обязана экономической догадке.

"Математизация физики"

Аристотель, (а также его последователи, средневековые исламские ученые) не считал, что математика может что-то предложить физике, точно так же, как Брайан Каплан не считает, что математика может что-то предложить современной экономике. Математика ничего не говорит об основных причинах и первоисточниках, а что действительно было важно в понимании природы — так это качественные характеристики предметов — были ли они легкими или тяжелыми, теплыми или холодными, влажными или сухими, твердыми или мягкими. И учитывая, что математика придает значение точности, числам и пропорциям, то она не может предоставить какие-то полезные догадки касательно вышеупомянутых качеств предметов. "Булыжники никогда не были идеально круглыми, так же как пирамиды не были идеально пирамидальными, так какая польза в том, чтобы считать их таковыми?"[7, с. 16]. Ключевое отличие науки древних греков и их последователей в том, что математики имели дело с чисто абстрактными объектами, в то время, как естествоиспытатели и инженеры работали с конкретными качествами объектов, не укладывающимися в рамки идеальных представлений.[9, с. 65]. Такой подход характеризовал не только греков, но и другие культуры. Например, китайские ученые похожим образом относились к полезности математики в науке. [11, с. 53].

Подход к изучению физики через математику был чисто европейским "изобретением" и впервые был задокументирован "Мертонским калькулятором" Томасом Брадвардином, который писал:

[Математика] открывает истинную правду, так как знает каждый сокровенный секрет и владеет ключами ко всем тонкостям букв. Поэтому тот, кто имеет наглость заниматься физикой, пренебрегая математикой, должен с самого начала знать, что он никогда не пройдет через врата мудрости [13, стр. 176]

Брадвардин прибыл в Мертон-колледж в 1323 году, а двенадцать лет спустя поступил на работу к епископу Даремскому, который был казначеем и канцлером Англии и, в конечном счете, был назначен архиепископом Кентерберийским незадолго до своей смерти в 1349 году.

Утверждение о том, что физика неотделима от математики, было, в своём роде, революционным, поскольку полностью противоречило подходу Аристотеля к физике. С этого момента «латинская» наука пошла по совершенно иному пути, чем исламская, которая базировалась на той же эллинистической традиции. Брадвардин перешел от теории к практике, пытаясь найти математическое описание законов движения Аристотеля в своей книге 1328 года De proportione velocitatum in motibus («О соотношении скоростей в движении»), и он добился этого, но его вывод не был корректным, так как он основывался на изначально неверных принципах Аристотеля. Впоследствии эти идеи были развиты оксфордскими калькуляторами и французскими философами — Жаном Буриданом, который определил понятие инерции, и Николаем Орезмским, который доказал теорему о средней скорости.

Ключом к раскрытию законов движения стало осознание того, что скорость — это отношение расстояния к времени. Сегодня это кажется очевидным, но это совсем не было таким для Аристотеля, который исследовал измерения в своих сочинениях — «Физике» и «Метафизике», и некоторых частях «Органона», где он утверждал, что мера — это всегда минимальная часть измеряемой вещи. Соответственно, мера состоит из того же вещества, что и предмет измерения. Например, числа измеряются наименьшим числом — единицей, расстояния измеряются наименьшим расстоянием, скажем, дюймом, а жидкости измеряются в пинтах и так далее. С концептуальной точки зрения в этом нет ничего противоестественного: китайский язык до сих пор использует «измерительные слова» когда нужно сказать что-то о количестве предметов. Когда Аристотель измерял физические объекты, то, как заметил Ричард Хадден, «он [был] осторожен, чтобы случайно не смешать величины, различающиеся по своей сущности, в одном и том же выражении» [12, с. 75], и ни он, ни учёные греческой традиции не могли сообразить, как вообще можно использовать такое понятие, как «метр в секунду» или «футо-фунт».

Так как же Брадвардин до этого догадался? Джоэл Кэй утверждает, что 45 членов научного сообщества Мертона не просто занимались академической деятельностью, но помимо этого также участвовали в ежедневном управлении довольно внушительными средствами колледжа.

В Мертон-колледже было три казначея, которые несли коллективную ответственность за денежные средства колледжа, был смотритель, проводивший ежегодную ревизию и посещавший обширные поместья во время сбора урожая, чтобы оценить годовые налоги в денежной или натуральной форме ... [другие] следили за бухгалтерскими книгами и подсчитывали прибыль от многих объектов недвижимости колледжа [17, с. 33]

Суть в том, что Брадвардин мог развить свои математические способности через их непосредственное экономическое применение. Но это, само по себе, незначительно. По-настоящему значимым событием стала перемена в концепции измерения, которая произошла, когда Альберт Великий изучал «Никомахову этику» Аристотеля в 1250-х гг., после того, как она была переведена на латынь в 1248/9 году.

Книга V «Никомаховой этики» рассматривает справедливость экономического обмена, и как цельный философский текст она довольно разрознена, и тяжело читается. Однако ясно то, что Аристотель считает, что взаимный, справедливый обмен на рынке имеет фундаментально важное значение для хорошо функционирующего общества, поскольку он связывает людей вместе [17, с. 51]. Поскольку «Никомахова этика» занималась вопросами справедливости, Аристотелю необходимо было определить, при каких условиях экономический обмен является «справедливым», и он настаивал на том, что добиться этого можно если между обмениваемыми товарами будет равенство [17, с. 45]. Аристотель определил, что для установления равенства необходима мера стоимости товаров, и эта мера — цена, должна обеспечиваться деньгами.

Все обмениваемые вещи должны каким-то образом сравниваться. Именно для этой цели были изобретены деньги, и они стали, в каком-то смысле, промежуточным звеном; ибо они измеряют все вещи, и, следовательно, и избыток, и недостаток — сколько ботинок будут равны дому или определенному количеству еды [17, с. 47, цитируя Этику]

В своем переводе Гроссетест (Роберт Гроссетест, 1175-1253 гг. — основатель основатель оксфордской философской и естественнонаучной школы, канцлер Оксфордского университета) описал деньги как средство обмена (medium). Сегодня мы понимает это в том смысле, что деньги — это какой-то физический символ (токен), однако это современная интерпретация. Для средневековых ученых латинское слово «медиум» чаще использовалось в значении посредника или медиатора, то есть деньги — это нейтральный агент, связывающий два различных товара, таких как, например, обувь и дома.

Альберт понял, что если Аристотель был прав в том, что деньги являются мерой, то следовательно он не мог быть прав в том, что мера должна разделять материю измеряемого. Это понимание позволило Альберту и его преемникам произвести переворот в концепции измерения — то, чего не смогли сделать их современники, мусульманские ученые. В частности, ученики Альберта отвергли теории измерения Аристотеля и рассматривали такие понятия, как метры в секунду или килограммы-метры в секунду (импульс). [17, с. 67]

Таким образом, "математизация" западной науки является следствием попыток оценки экономической деятельности.

История развития математического анализа

Бертран Рассел (среди прочих) подчеркивает фундаментальную роль вероятности (и статистики) в науке [21, с. 301], однако менее известный факт заключается в том, что вероятность возникла в результате оценки коммерческих контрактов в соответствии с аристотелевскими концепциями справедливости. Еще менее известна роль финансовой практики и теории в возникновении дифференциального исчисления Ньютона, на котором основана его физика.

Многие люди знают, что арабские (индийские) числа появились в Европе благодаря Фибоначчи, который написал свой фундаментальный труд, "финансовый учебник" тех времен, «Liber Abaci». Но Фибоначчи не использовал десятичные дроби. Огромное значение десятичной системы счисления было подчеркнуто фламандским математиком Симоном Стевином в его тексте 1585 года «De Thiende» («Десятые доли»). Стевин не изобрел десятичные дроби, до этого они использовались арабами и китайцами и впервые появились в Европе в немецком тексте по алгебре 1525 года, но аудиторией «De Thiende» были «практики», и Стевин отмечал, что «все вычисления, которые встречаются в бизнесе, могут быть выполнены», используя его нотацию. Обозначения Стевина, на самом деле, были не совсем удобными: десятичные дроби в том виде, в каком мы их знаем, появились в английском языке в 1616 году. [2, с. 316—317]. Также стоит отметить, что знак «=» был впервые использован в тексте «Точильный камень остроумия», написанном валлийским математиком и управляющим английским Королевским монетным двором Великобритании, Робертом Рекордом в 1557 г.

Значимость десятичных дробей для исчисления заключалась в том, как Ньютон, опираясь на работы Николая Орезмского, подошел к решению проблемы движения. Находясь в Линкольншире и спасаясь от чумы 1666 года, Ньютон размышлял о том, как точка превращается в линию, перемещаясь за бесконечно малый момент, подобно тому, как линия рисуется на листке бумаги карандашом. Ньютон назвал полученную кривую флюэнтой, а скорость, с которой возрастала полученная флюэнта в моменте — флюксией.

Например, флюэнтой могло быть расстояние между пушечным ядром и пушкой, флюксией– его скорость. Или же сила, действующая на ядро (произведение массы и ускорения), будет флюксией, а его импульс (произведение массы и скорости) — флюэнтой. Несмотря на то, что эти идеи возникли у него еще до 1667 года, Ньютон опубликовал их лишь в 1671 году в Tractatus de Methodis serierum et fluxionum («Трактат о методах рядов и флюксий») [16, с. 462].

Так же как и Декарту, Ньютону было удобно описывать функцией расстояние, проходимое объектом, и учитывая работы Буридана и Николая Орезмского, он понимал, что флюксия — это скорость изменения флюэнты, но для решения проблем в общем случае, ему нужно было разработать способ вывода функции для флюксии из функции для флюенты.

Ключ к разгадке этой головоломки лежит в десятичной системе счисления. До Стевина числа обычно записывались в виде составных или непрерывных дробей. Например, в виде составной дроби денежная сумма в пять фунтов, семь шиллингов и девять пенсов была бы записана следующим образом:

а в виде непрерывной дроби, так:

в то время как в десятичной нотации это: 5.62083333….

Ньютон понял, что то же самое можно написать следующим образом:

и его интересовало, можно ли применить аналогичный метод к функциям.

Такой подход Ньютона — записать функцию в виде ряда

не был чем-то новым.

Еще в четырнадцатом веке, независимо от других ученых, индийские математики рассматривали возможность записи функций как степенных рядов, а в 1688 году Николас Меркатор изучал разложение логарифмов в степенные ряды. (Меркатор был немцем и первоначально носил имя Никлаус Кауфман. Он латинизировал свое имя и стал Меркатором; и Меркатор, и Кауфман в переводе означают «торговец»). Если десятичное число, записанное в виде непрерывной дроби, никогда не заканчивается, то это «иррациональное», а не «рациональное» число. Если функция, записанная в виде степенного ряда/многочлена, имеет конечное число членов, она является «алгебраической», если она имеет бесконечное число членов, она выходит за пределы алгебраических функций, она трансцендентна и обычно получает имя, например синус, логарифм, экспонента и т. д.

Поняв, что он может записать функцию в виде степенного ряда, он также понял, что можно выяснить, как изменяется функция, если разобраться, как изменяется простая степень, установив

Из всего этого последовали два важнейших достижения западной науки: ньютоновская механика и математический анализ.

История Башелье

Знаменитый экономист Пол Самуэльсон однажды рассказал историю об одной находке в библиотеке:

В начале 1950-х годов в библиотеке Парижского университета мне совершенно случайно попалась на глаза неизвестная книга 1900 года, за авторством одного французского аспиранта, которая просто стояла и гнила на книжной полке. Но когда я открыл ее, то передо мной распахнулся целый новый мир. [4, 13:00]

Книга, о которой говорит Самуэльсон, представляет собой диссертацию Луи Башелье "Théorie de la spéculation" («Теория спекуляций»). В истории, которую рассказал Самуэльсон и которая вспоследствии много раз пересказывалась, он связывает работу Башелье с работой Эйнштейна по броуновскому движению, нежели с ранее существовавшими теориями финансов. Преподнесение работы Башелье именно в контексте теоретической физики, а не иллюстрации того, как применение математики в экономической сфере влияет на развитие математики, является ярким примером тенденции ученых превозносить теорию над практикой [10, глава IV].

На самом деле, работа Башелье не имела ничего общего с физическим процессом броуновского движения, которым интересовался Эйнштейн, но была частью давней (французской) традиции применения биномиальной модели случайного блуждания к финансой сфере. Канонические истоки математической вероятности лежат в решении Паскалем и Ферма в 1654 году проблемы распределения очков, которая также известна как проблема разделения ставок, за десять лет до появления исчисления. Изыскания в этой теме также включают в себя «Исследования аннуитетов, займов и возмещения» французского актуария Эммануэля-Этьена Дювиллара («Rechererches sur les rentes, les emprunts et les remboursements») [23] и «Calcul des Chances et Philosophie de la Bourse» Жюля Рено («Вычисление шансов и философия биржи») 1863 г. [15]

В 1870 г. Анри Лефевр де Шатоден, актуарий, который был личным секретарем барона де Ротшильда [14], опубликовал «Traité des valeurs mobilières et des opérations de Bourse: Placement et spéculation» («Трактат о финансовых ценных бумагах и биржевых операциях») [20].

В 1875 году датский актуарий и астроном Торвальд Тиле представил концепцию случайного блуждания для моделирования ошибок наблюдений, добавив динамический компонент в более раннюю работу Гаусса [18]. В 1894 году Пуанкаре, величайший математик Франции того времени, отдал предпочтение преподаванию теорию вероятности, перед всеми остальными предметами. В то время было традицией редактировать и публиковать курсы лекций выдающихся математиков. В случае с Calcul des Probabilitités («Исчисление вероятностей») Пуанкаре, редактированием лекций занимался Альберт Кикé, актуарий, работающий в страховой компании La Nationale, а не студент университета, как это обычно бывает [3, с. 279], что подчеркивало активный интерес практикующих финансистов к области теоретической вероятности.

Именно в контексте этой традиции Башелье занимался своей работой. Из-за ранней смерти своих родителей он не смог поступить в университет после школы и сначала работал в семейной фирме в Нормандии, а затем переехал в Париж, где торговал рентами (то есть консолями, консолидированными рентами), изучая математику в Сорбонне, где в конечном итоге, он получил докторскую степень под руководством Пуанкаре ([6], [22]). Диссертация Башелье известна переходом от биномиальной модели случайного блуждания с дискретным временем к модели непрерывного времени (т. е. она является продолжателем работ Ньютона по исчислению), и именно этот аспект уловил Самуэльсон.

Башелье нельзя назвать успешным академиком. Довольно трудно понять, как Башелье зарабатывал себе на жизнь в следующее десятилетие. Он получил несколько стипендий и в 1909 году стал «свободным» (неоплачиваемым) лектором в Сорбонне, читая лекции по теории вероятностей, применяемой в финансах. [6] В 1912 году он опубликовал Calcul des Probabilitiés («Исчисление вероятностей»), а затем в 1914 году — Le Jeu, la Chance et le Hasard («Игра, шанс и случайность»). В том же году, накануне назначения на постоянную работу в Парижский университет, он, как и любой другой француз, годный к службе, был призван рядовым в армию. Он пережил катаклизм войны, закончив ее в звании лейтенанта, а в 1919 году занял временную должность в Безансонском университете. У него были дополнительные временные должности в Дижоне с 1922 по 1925 год и в Ренне с 1925 по 1927 год.

В 1926 году в Дижоне появилась постоянная должность, на получение которой подал заявление Башелье. Его заявку рассматривал один профессор Дижона, который не был знаком с ранними работами Башелье, но считал, что одна его важная статья, опубликованная в 1913 году, содержала «грубую ошибку». Рецензент написал письмо Полю Пьеру Леви, молодому «докторскому собрату» (студенту того же научного руководителя), имевшему определенную репутацию в теории вероятностей, с просьбой прокомментировать работу Башелье. В отличие от нетрадиционного пути Башелье в академические круги, Леви был сыном академика Политехнической школы, где он опубликовал свою первую статью в возрасте 19 лет в 1905 году, стал профессором Высшей национальной горной школы в 1913 году, и провел годы Первой мировой войны, занимаясь исследованиями для французских артиллеристов. В 1920 году его назначили в Политехническую школу, и в связи с тем, что он был автором книги 1925 года «Исчисление вероятностей», его и попросили пояснить ситуацию с Башелье.

Леви проверил страницу, которая содержала предполагаемую ошибку, и согласился с рецензентом, а Башелье был занесен в черный список. Предмет спора, с которым рецензент и Леви столкнулись в статье, заключался в том, что в статье было определенное противоречие одной из формулировок броуновского движения Винера 1921 года, но на самом деле это было не так, если следовать подходу, которого Башелье придерживался со времени защиты своей диссертации. Рецензенты не были знакомы с этой работой, поэтому статья 1913 года показалась им двусмысленной и, как следствие, ошибочной. Хотя отказ от предоставления должности был болезненным для Башелье, в 1927 году, в возрасте 57 лет, он наконец получил постоянную должность в Безансоне, где он оставался до выхода на пенсию в 1937 году. На пенсии он написал еще две книги о теории вероятностей и умер в 1946 году в Бретани.

Хотя Башелье так и не был назначен на должность профессора в один из лучших французских университетов (возможно, потому, что его профессиональная подготовка не соответствовала французскому идеалу рациональности), тем не менее, он сделал неплохую академическую карьеру, и предположение Самуэльсона о том, что его диссертация, всеми забытая, «гнила» на полке в библиотеке, игнорирует тот значительный вклад, который Башелье внес в математику. В частности, его идея о том, что вероятность динамична стала значительным концептуальным скачком в то время, и была поддержана Колмогоровым, когда он закладывал основы современной теории вероятностей.

В своей диссертации Башелье обсуждает то, что он называет "Rayonnement de la probilité" («Излучение вероятности») [1, с. 46–47], [8, с. 41] — идею о том, что плотность вероятности меняется во времени. Это было революционно: до того как Башелье сделал это наблюдение в своей диссертации, предполагалось, что вероятности статичны, и даже байесовские подходы предполагали, что плотность вероятности статична, и что со временем вы просто узнаёте ее свойства всё лучше и лучше. В физике эта идея возникла после выхода работы Эйнштейна в 1913 году, и известна, как уравнение Фоккера-Планка.

Колмогоров был знаком с работами Башелье, и когда Леви это понял, он также осознал, что, если бы он изучил работу Башелье в 1927 году, когда тот направил свое заявление в Дижон, он мог бы прийти к выводам Колмогорова раньше русского ученого и мог бы первым прославиться как тот, кто заложил основы современной теории вероятностей. Леви извинился перед Башелье и публично признал приоритет Башелье не только над Винером в математическом исследовании броуновского движения, но также и над Колмогоровым в вопросе связи броуновского движения с уравнением теплопроводности Фурье, а также над самим собой в установлении определенных свойств винеровского процесса. [22, стр. 20—21]

Как бы там ни было, я думаю, что история Башелье невероятно важна для демонстрации того, как ученые, начиная Леви в 1927 году и до Самуэльсона в 1999 году, принижают значение и роль экономических явлений в создании математических идей, которые оказывают важнейшее влияние на физические науки.

Выводы

Я согласен с утверждением Брайана Каплана о том, что современная математика порой затмевает экономическую интуицию. Я думаю, что многие находят экономическую математику непривлекательной из-за того, что математика, придуманная для решения физических проблем, не подходит для решения экономических проблем.

В наблюдении же о том, что экономисты извлекли бы гораздо больше пользы, используя математику, также нет ничего нового. Известно, что Джон фон Нейман отказался написать рецензию на «Основы экономического анализа» Самуэльсона в 1947 году. Дело в том, что как и многие математики, изучающие экономику, Нейман считал, что экономика нуждается в более качественной математике, чем ей было предложено [19, с. 134].

Я призываю экономистов прекратить использовать существующую математику и начать внедрять новую математику. Я не вижу решения проблемы экономатематики до тех пор, пока между экономикой и математикой не возникнет такая связь и сотрудничество, какое существует между математиками и учеными-физиками. Математики должны работать с экономистами над созданием математики, которая позволит четко обсуждать экономическую интуицию.

Если вспомнить миф об Эдипе, то хотя Эдип не осознает, что убил своего отца, убийца Лая всё-же должен быть привлечен к ответственности, чтобы положить конец голоду и эпидемиям в королевстве... В конечном итоге, именно математика должна исправить ошибки в экономике.

Источник: https://magic-maths-money.blogspot.com/2013/08/oedipus-and-difficult-relationship.html

Ссылки

[1] L. Bachelier. Théorie de la spéculation. In Annales scientifiques de l’É. N. S. 3e série, tome 17 (1900), pages 21—86. École normale supérieure, 1900.

[2] C. B. Boyer and U. T. Merzbach. A History of Mathematics. John Wiley and Sons, 1991.

[3] P. Cartier. Poincaré’s Calcul des Probabilitités. In E. Charpentier, E. Ghys, and A. Lesne, editors, The Scientific Legacy of Poincaré. American Mathematical Society / London Mathematical Society, 2010.

[4] M. Clark. The Midas Formula (the Trillion Dollar Bet). BBC Horizon, 1999.

[5] A. A. Cournot. Researches into the mathematical principles of the theory of wealth (trans. N. T. Bacon). Macmillian, 1897. www. archive. org/details/researchesintom00fishgoog.

[6] J-L. Courtault, Y. Kabanov, B. Bru, P. Crépel, I. Lebon, and A. Le Marchand. Louis Bachelier on the centenary of Théorie de la Spéculation. Mathematical Finance, 10(3):339—353, 2000.

[7] A. W. Crosby. The Measure of Reality. Cambridge University Press, 1997.

[8] M. H. A. Davis and A. Etheridge. Louis Bachelier’s Theory of Speculation. Princeton University Press, 2006.

[9] P. Dear. Revolutionizing the Sciences. Palgrave, 2001.

[10] J. Dewey. The Quest for Certainty: A Study of the Relation of Knowledge And Action. Kessinger Publishing, 2005.

[11] P. Fara. Science: a four thousand year history. OUP, 2009.

[12] R. W. Hadden. On the Shoulders of Merchants: Exchange and the Mathematical Conception of Nature in Early Modern Europe. State University of New York Press, 1994.

[13] J. Hannam. God’s Philosophers: How the medieval world laid the foundations of modern science. Icon Books, 2009.

[14] F. Jovanovic. Was there a “vernacular science of financial markets” in france during the 19th century? History of Political Economy, 38(3):531—545, 2006.

[15] F. Jovanovic and P. Le Gall. Does god practice a random walk? the ’financial physics’ of a nineteenth-century forerunner, Jules Regnault. The European Journal of the History of Economic Thought, 8(3):332—362, 2001.

[16] V. J. Katz. A History of Mathematics: An Introduction. Haper Collins, 1993.

[17] J. Kaye. Economy and Nature in the Fourteenth Century. Cambridge University Press, 1998.

[18] S. L. Lauritzen. Time series analysis in 1880: A discussion of contributions made by T. N. Thiele. International Statistical Review, 49(3):319—331, 1981.

[19] P. Mirowski. What were von Neumannn and Morgenstern trying to accomplish?. In E. R. Weintraub, editor, Toward a History of Game Theory, pages 113—150. Duke University Press, 1992.

[20] A. Preda. Informative prices, rational investors: The emergence of the Random Walk Hypothesis and the Nineteenth-century ‘science of financial investments’. History of Political Economy, 36(2):351—386, 2004.

[21] B. Russell. An Outline of Philosophy. George Allen & Unwin (Routledge), 1927 (2009).

[22] M. S. Taqqu. Bachelier and his times: A conversation with Bernard Bru. Finance and Stochastics, 5(1):3—32, 2001.

[23] Y. Biondi (trans J. d’Avingnon and G. Poitras). Duvillard’s Recherches sur les rents (1787) and the modified internal rate of return: a comparitive analysis. In G. Poitras, editor, Pioneers of Financial Economics: contributions prior to Irving Fisher, pages 116—148. Edward Elgar, 2006.

👨‍💻 Канал для физиков, математиков и разработчиков: t.me/physics_lib
💡 Заметки по физ-мату и IT: t.me/mentor_it
👾 Канал по хакингу и информационной безопасности: t.me/epsilon_h
🎞 Научные видео и учебные фильмы: t.me/maths_lib
⚙ Эстетика технологий различных времен: t.me/tech_pac
🧪 Канал для любителей химии, биологии и медицины: t.me/chemistry_lib
🎲 Заметки преподавателя по физ-мату: vk.com/itmentor
🗣 Беседа в VK: https://vk.cc/cjQwuG