Кит Йейтс «Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь» - рецензия П. Можейко
«Четыре года Светику,
Он любит арифметику.
Светик радостную весть
Объявляет всем:
— Если к двум прибавить шесть, —
Это будет семь! —
Услыхав его слова,
Юра стал считать:
— Нет, к шести прибавить два —
Это будет пять!»
(Агния Барто «Арифметика»)
НАЗВАНИЕ: Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь
АВТОР: Кит Йейтс
ОРИГИНАЛЬНОЕ НАЗВАНИЕ: The Math of Life and Death: 7 Mathematical Principles That Shape Our Lives
ISBN: 978-5-04-103290-6
ГОД ИЗДАНИЯ: 2021
ИЗДАТЕЛЬСТВО: «Бомбора»
СЕРИЯ: «Большая наука»
КОГДА МНОЙ ПРОЧИТАНО: Январь 2024
ИСТОЧНИК: Оригинальная книга
О КНИГЕМатематика, как наука, сочетает в себе абсолютную абстрактность и при этом, предельную точность и строгость. Именно благодаря этому она многим не поддается и даже пугает. Даже одна математическая формула может отпугнуть значительную часть потенциальных читателей. Поэтому весьма предсказуемым и разумным шагом видится полное отсутствие формул в книге британского математика Кита Йейтса, подзаголовок которой открыто демонстрирует содержание: «7 математических принципов, формирующих нашу жизнь». Список, конечно, не полный. Нет ничего удивительного и в том, что идея этой серьезной, но написанной доступным языком книги, родилась в пабе:
«Название и основная идея книги «Математика жизни и смерти» как книги о скрытом влиянии математики на нашу повседневную жизнь родились из пьяного разговора в пабе, когда я впервые встретил своего агента Криса Уэлбилоу лицом к лицу».
Абстрактность математики дает ложное представление, что это какая-то узкая область знания, необходимая лишь инженерам, экономистам и ученым, а остальным людям для повседневного пользования достаточно знания лишь одного из её разделов - арифметики. На самом деле, за абстрактностью этой науки кроется ее универсальность, т.к. математические принципы лежат в основе практически всего, от химических процессов и физиологии нашего тела, до распространения заболеваний и информационного шарлатанства. И бактерии, и пропагандисты, и диссиденты вольно и невольно используют принципы математики. Она повсюду, и в своей книге Кит Йейтс акцентирует на этом внимание читателей.
«В современном обществе математика лежит в основе почти всего, что мы делаем. Она жизненно важна для коммуникации и для навигации. Она полностью изменила то, как мы покупаем и продаем, и произвела революцию в том, как мы работаем и отдыхаем. Ее влияние можно ощутить почти в каждом зале суда и в каждой больничной палате, в каждом офисе и в каждом доме».
Кит Йейтс - старший преподаватель кафедры математических наук и второй директор Центра математической биологии Университета Бата. «Математика жизни и смерти» - его первая книга (на данный момент их уже несколько). Здесь он выступает и как математик в определенной области, и как молодой отец, и как гражданин своей страны. Отсюда и широта затрагиваемых в книге тем. Особенно стоит отметить специфичность его профессионального интереса: связь математики с биологией. В книге много об анализах и тестах, о распространении инфекций, о проблемах статистики, о среднем возрасте и тому подобном.
«Семь глав данной книги исследуют подлинные истории переломных событий, в которых корректное (или некорректное) применение математики сыграло решающую роль. Это истории болезней, вызванных дефектными генами; истории банкротств, вызванных применением ошибочных алгоритмов; истории невинных жертв судебных ошибок и нечаянных жертв сбоев в работе программного обеспечения. Мы проследим за историями инвесторов, потерявших состояние, и родителей, потерявших детей, – и все из-за математических недоразумений. Мы столкнемся с этическими дилеммами – от проверок благонадежности до манипулирования статистикой. Мы исследуем такие насущные общественные проблемы, как политические референдумы, профилактика заболеваний, уголовное правосудие и искусственный интеллект. В этой книге мы увидим, что математике есть что сказать как по всем этим вопросам – фундаментальным важным, так и по многим другим. Я буду не просто приводить примеры работы математических принципов в той или иной ситуации – я вооружу вас простыми и полезными в повседневной жизни математическими правилами и инструментами; они помогут занять лучшее место в поезде и сохранить хладнокровие, получив неожиданные результаты медицинских анализов. Я подскажу несложные приемы, которые позволят не запутаться с цифрами и числами».
Книга – по сути сборник увлекательных поучительных историй из жизни в духе давно полюбившихся советскому и русскому читателю книг Якова Перельмана: «Занимательной физики», «Занимательной астрономии», «Занимательной арифметики» и т.д. То, что нас удивляет – запоминается лучше всего, и с этой точки зрения книга Йейтса мало кого оставит равнодушным. Широта рассмотренных тем гарантирует, что хотя бы одна из них будет касаться непосредственно вас. Действительно, автор берет в основном общегражданские аспекты жизни: медицинские анализы и их интерпретацию, подготовку к рождению детей и ДНК-тесты, поиск наилучшей стратегии в выборе новой работы или ресторана для торжественного ужина, манипуляции статистикой и информацией накануне выборов, юридические казусы, основанные на игре с теорией вероятности, излишнее доверие алгоритмам и искусственному интеллекту, проблемы оптимизации, пандемию и движение антипрививочников и мн. др. Эта книга о том, насколько сильно математика вплетена в нашу жизнь и о том, как незнание математических законов печальным образом отражается на ней. Удивительно, но и знание математики порой бессильно против предрассудков и психологии. Более того, Йейтс подчеркивает, что математика нередко имеет две стороны: светлую и темную.
«На каждое выдающееся, невероятное прежде свершение, достигнутое с помощью математики, приходится очередная катастрофа, вызванная математической ошибкой. Тщательные расчеты проложили человеку дорогу на Луну, но математическая небрежность уничтожила космический аппарат Mars Orbiter стоимостью миллионы долларов. При правильном обращении математика может стать мощным инструментом криминального анализа, но злоупотребление ею недобросовестными крючкотворами может стоить невинным людям свободы. В своих лучших проявлениях математика – это самая современная медицинская технология, которая может спасти жизни, но в худших – неверно рассчитанные дозы. Наш долг – учиться на математических ошибках, чтобы не повторять их в будущем или же, что еще лучше, исключить саму возможность таких ошибок».
Коротко о т.н. «семи математических принципах», рассмотренных в книге. В первой главе рассмотрен экспоненциальный рост, дана отрезвляющая картина его масштаба и интенсивности, проявляющаяся в различных сферах жизни: проценты по вкладам, размножение вредных бактерий в молоке, ядерная реакция, популяционный взрыв и даже ощущение быстротечности жизни! Вторая глава посвящена тестам и правильному восприятию их результатов. Тут рассмотрены такие понятия, как чувствительность и специфичность тестов, выражающаяся в относительных цифрах – вероятностях. Третья глава продолжает тему вероятности и исследует роль математики в юриспруденции. Тут есть история про графологический анализ письма в нашумевшем деле Дрейфуса, рассмотрена т.н. «ошибка прокурора» и упор в доказательстве вины на низкую вероятность совпадения, которая на самом деле занижена в десятки и тысячи раз, рассмотрено еще несколько нашумевших дел, где интуитивное, но неверное понимание присяжными данных статистики приводило к приговору и заключению на долгие годы. Четвертая глава посвящена статистике и ее использованию в информационных потоках. Автор рассматривает, как врут политики и пропагандисты, как разная интерпретация одних и тех же данных может повлиять на общественное мнение. Также, тут рассмотрен феномен «регрессии к среднему», который ложно выставляют, как доказательство эффективности. В пятой главе рассмотрена эволюция систем счисления. Все мы пользуемся десятеричной, но это не всегда удобно, а у основания счета «60» есть много своих достоинств. Здесь же рассмотрена двоичная система счисления, характерная для электронных вычислительных систем. Шестая глава посвящена алгоритмам и оптимизации. Тут автор обращает внимание на то, как порой за алгоритмами теряется суть и к чему приводит абсолютное доверие оптимизированным системам. Тут же приведены знаковые примеры из мира финансовых рынков и искусственного разогревания трендов. Наконец, заключительная седьмая глава затрагивает тему эпидемиологии и распространения инфекций. Тут рассмотрены такие понятия как «нулевой пациент» и базовое число Rо, а также SIR-модель разделения населения на подгруппы - Susceptible (потенциально восприимчивый к заражению), Infected (инфицированный), Removed (выздоровевший и невосприимчивый к заражению). Автор показывает, как математика помогает выследить нулевого пациента, спрогнозировать распространение болезни и увидеть признаки спада эпидемии.
Книга «Математика жизни и смерти» — это прекрасный пример той научно-популярной литературы, которая, развлекая обучает. В ней действительно много увлекательных и незаезженных историй, которые рассматривают разнообразные стороны нашей жизни и роль математики в них. Более того, каждая глава содержит реальные практические советы, которые могут помочь в жизни. Единственное, русскому изданию не повезло с обложкой, уж очень она простовато выглядит и вряд ли сможет привлечь столько читателей, скольких она достойна.
А теперь давайте окунемся в интересные факты, наблюдения и истории из этой книги.
ЦИТАТНИКЕсли когда-нибудь вам понадобится наглядный повседневный пример геометрической прогрессии, то вот он:
«Представьте, что утром, когда вы открываете пакет молока, туда, прежде чем снова наденете крышку, проникает одна клетка Streptococcus faecalis – бактерии стрептококка группы D. Стрептококк группы D – одна из бактерий, вызывающих скисание и свертывание молока, но разве единственная клетка – повод для беспокойства? Возможно, вас насторожит способность клетки стрептококка группы D делиться в молоке, производя две дочерние клетки каждый час. С каждым новым поколением число клеток увеличивается пропорционально текущему их числу, поэтому общее количество стрептококка растет в геометрической прогрессии. <…> Если оставить молоко на 48 часов, и экспоненциальный рост клеток стрептококка продолжится, то когда вы решите снова попить молока, в пакете может оказаться почти квадриллион (1 000 000 000 000 000) клеток – достаточно, чтобы свернулась ваша кровь, не говоря уж о молоке. В этот момент клеток будет больше, чем людей на нашей планете – 130 000 к одному».
Вот еще один интересный момент о прогрессии и росте клеток: что, если бы темп деления клеток эмбриона был постоянным на протяжении всей беременности?
«Во время внутриутробного периода этап экспоненциального роста эмбриона, к счастью, относительно недолог. Если бы зародыш продолжал расти с постоянной экспоненциальной скоростью в течение всей беременности, то 840 синхронных делений клеток породили бы супермладенца, состоящего примерно из 10253 клеток. Для сравнения: если бы каждый атом во Вселенной сам был бы копией нашей Вселенной, то общее количество атомов во всех этих вселенных было бы примерно эквивалентно количеству клеток супермладенца. Разумеется, по мере развития эмбриона деление его клеток замедляется. В реальности количество клеток в среднем новорожденном составляет относительно скромное число – примерно два триллиона. Такой объем достигается меньше чем за 41 этап синхронного деления».
О модели логистического роста или почему популяционный взрыв заканчивается выходом на плато:
«Простейшая математическая модель, позволяющая отразить последствия внутри– или межвидовой конкуренции за ограниченные ресурсы, называется моделью логистического роста. На рисунке логистический рост поначалу выглядит экспоненциальным, поскольку население свободно растет пропорционально своим текущим размерам, без ограничений условиями окружающей среды. Однако по мере роста населения нехватка ресурсов приближает уровень смертности к уровню рождаемости. Чистый прирост населения в итоге сводится к нулю: новых рождений среди населения достаточно только для того, чтобы заменить умерших и не более, что означает, численность населения достигает плато своего предельного воспроизводства».
Забавное про экспоненциальное восприятие времени:
«Если длительность периода оценивается пропорционально времени уже прожитой жизни, то экспоненциальная модель воспринимаемого времени имеет смысл. В мои 34 года на год приходится чуть менее 3 % моей жизни. В этот период кажется, что новые дни рождения случаются как-то слишком часто. Но от десятилетнего, которому следующий набор подарков приходится ждать в течение 10 % своей жизни, требуется почти безграничное терпение. Для моего четырехлетнего сына мысль о том, что ему придется ждать четверть жизни, пока он снова станет именинником, почти невыносима. При такой экспоненциальной модели пропорциональное увеличение возраста четырехлетнего ребенка между его днями рождения эквивалентно периоду ожидания 40-летнего до его следующего круглого юбилея, когда ему стукнет 50. С этой точки зрения идея, что по мере старения время в нашем восприятии ускоряется, выглядит вполне логичной».
Вас пугает ваш ИМТ? Не спешите худеть! Вот вам информация про нюансы индекса массы тела и «толстых худышек»:
«Основная проблема с ИМТ в том, что он не может отличить мышцы от жира. Это важно, потому что избыток телесного жира является хорошим предсказателем кардиометаболического риска. А вот индекс массы тела – нет. Если бы определение ожирения основывалось на высоком процентном содержании телесного жира, то от 15 до 35 % мужчин, которых ИМТ не относит к группе страдающих от ожирения, были бы классифицированы как в пациенты с ожирением. Так, «толстые худышки» – люди с небольшой мышечной массой, но высоким уровнем телесного жира – имеют, соответственно, нормальный индекс массы тела. Но при этом они попадают в «невидимую» для ИМТ категорию людей «нормального веса с ожирением». Недавнее перекрестное исследование 40 тысяч человек показало, что 30 % людей с ИМТ в нормальном диапазоне страдают кардиометаболитическим синдромом. Похоже, что кризис ожирения может быть гораздо хуже, чем предполагают данные по индексу массы тела. Тем не менее оказывается, что ИМТ, определяя ожирение, ошибается в обе стороны. То же исследование показало, что до половины людей, которые по индексу массы тела попадают в группу с избыточным весом, и более четверти людей, страдающих, согласно показателю ИМТ, от ожирения, на деле здоровы с точки зрения метаболизма».
Как медианная фильтрация входящих сигналов помогает в медицине отсекать ложные единичные тревоги:
«Медианная фильтрация все чаще используется в мониторах отделений интенсивной терапии для предотвращения ложных тревог. На основе медианного значения, высчитываемого по ряду последовательных показаний, задается условие для срабатывания сигнала тревоги – включаться только тогда, когда пороговые значения нарушаются в течение продолжительного (хотя и все еще короткого) времени, а не при одноразовым всплеске или падении отслеживаемого параметра. Медианная фильтрация может снизить частоту ложных срабатываний в мониторах интенсивной терапии на целых 60 %, не ставя под угрозу безопасность пациента».
Нюансы медицинских скринингов и гипердиагностики:
«Вы же не считаете, что приглашение на собеседование с потенциальным работодателем означает автоматическое получение работы. Точно так же вы не должны предполагать, что у вас есть болезнь, только на основании положительного результата скрининга. Когда распространенность заболевания низка, скрининг даст гораздо больше ложноположительных результатов, чем истинных. Проблемы, вызванные ложноположительными результатами медицинских скринингов, в некоторой степени связаны с нашим некритичным отношением к точности медицинских обследований. Это явление часто называют иллюзией достоверности. Мы настолько отчаянно нуждаемся в окончательном – том или ином – ответе, особенно в медицинских вопросах, что забываем относиться к полученным результатам с должным скептицизмом».
Даже достоверные тесты могут быть пугающе неточными (почему так важны повторные/двойные анализы):
«Действительный уровень ошибок иммуноферментного теста на ВИЧ, который не прошел Марк Стерн, определить сложно. Тем не менее большинство исследований сходятся на том, что его специфичность составляет около 99,7 %, а чувствительность приближается к 100 %. Отрицательный результат теста означает, что реципиент почти наверняка не заражен ВИЧ, но в среднем 3 человека из каждых 1000 здоровых получат ложноположительный диагноз. В Великобритании распространенность ВИЧ составляет всего 0,16 %. Таким образом, из 1 000 000 случайно выбранных граждан Великобритании (рис. 7), в среднем 1600 будут ВИЧ-положительными, а 998 400 – нет. Из 998 400 ВИЧ-отрицательных пациентов, проходящих тест ИФА, даже со специфичностью 99,7 %, 2995 получат неверные положительные диагнозы. Этих ложноположительных результатов почти в два раза больше, чем 1600 истинно положительных. Как и в случае со скринингом рака молочной железы, поскольку распространенность ВИЧ низкая, а анализу ИФА до специфичности в 100 % не хватает совсем немного, точность теста будет довольно высокой – разделив количество тех, кто был верно определен как положительный, на количество всех, определенных как положительные, мы получим чуть более одной трети. Достоверность теста, однако, чрезвычайно высока. Он дает 997 005 правильных результатов (положительных или отрицательных) для каждого 1 000 000 протестированных людей – достоверность более 99,7 %. Даже очень достоверные тесты могут быть пугающе неточными.
Один из простых способов снизить погрешность теста – просто провести второй тест. Поэтому первый тест на многие заболевания – это скрининг с низкой специфичностью. Он предназначен для того, чтобы при минимальных затратах выявить как можно больше потенциальных случаев, пропуская при этом как можно меньше. Второй тест, как правило, является диагностическим и будет иметь гораздо более высокую специфичность, что исключит большинство ложноположительных результатов. Даже если тест с более высокой специфичностью недоступен, повтор одного и того же теста на всех пациентах с положительными результатами может значительно снизить погрешность».
И дальше:
Важное про тесты:
«Нравится нам это или нет, но ложноположительные и ложноотрицательные результаты неизбежны. Математика и современные технологии могут помочь решить некоторые из этих проблем, предоставляя нам самые современные методы вроде той же фильтрации сигналов, но другие проблемы мы должны научиться решать сами. Нам необходимо помнить, что профилактические скрининги – не диагностические обследования, и к их результатам надо относиться с известной долей сомнения. Это не значит, что мы должны полностью игнорировать положительный результат скрининга, но не стоит паниковать, не дождавшись результатов более точных анализов. То же самое относится и к индивидуальным генетическим тестам».
***
Виды «экологических ошибок»:
«Один из видов экологической ошибки – это поверхностное допущение, что обо всей разнообразной популяции можно судить по одному статистическому параметру. Так, в Великобритании в 2010 году средняя ожидаемая продолжительность жизни женщин составляла 83 года, а мужчин – всего 79 лет. Общая ожидаемая продолжительность жизни населения, таким образом, составила 81 год. Но утверждение, что любая случайно выбранная женщина будет жить дольше, чем любой случайно выбранный мужчина, сделанное на основании того, что средняя ожидаемая продолжительность жизни у женщин выше, чем у мужчин, и будет типичным примером экологической ошибки. Этот тип ошибки имеет собственное (очень подходящее) название – абстрактное обобщение. Другая распространенная экологическая ошибка – утверждение, что «мы все живем дольше», основанное на поверхностной интерпретации данных об увеличении общей продолжительности жизни. Им часто злоупотребляют ленивые журналисты. Говорить, что все будут жить дольше, чем ожидалось прежде, нельзя. Очевидно, что в лучшем случае это наивные предположения».
Интересное и неочевидное о средней продолжительности жизни:
«Как ни удивительно, при средней продолжительности жизни в 78,8 года большинство британских мужчин проживет дольше, чем при общей продолжительности жизни населения 81 год. На первый взгляд утверждение кажется противоречивым, но на самом деле это связано со спецификой использования статистических методов для обобщения данных. Небольшое, но значимое количество людей, умирающих молодыми, снижает средний возраст смерти (обычно за общую продолжительность жизни принимают сумму возрастов всех людей на момент смерти каждого, деленную на общее число людей). Как ни странно, эти ранние смерти опускают среднее значение продолжительности жизни намного ниже медианного (возраста, который не переживают столько же людей, сколько и переживают его). Медианный возраст смерти мужчин в Великобритании составляет 82 года, то есть до этих лет доживет как минимум половина из них. В данном случае представленная сводная статистика – средняя продолжительность жизни в 78,8 года – является исключительно недостоверной характеристикой мужской половины британцев».
И еще шутка про «среднее значение»:
«Поначалу еще более удивительным примером кажется старая загадка: «Каков шанс на то, что у следующего человека, которого вы встретите на улице, ног будет больше, чем в среднем у людей?» Ответ: «Почти наверняка». Соль в том, что одноногих или вовсе безногих калек очень немного, но они и обеспечивают некоторое снижение среднего количества ног в пересчете на все население. Так что каждый, у кого две ноги, имеет больше ног, чем все население в среднем. Этот пример показывает, насколько смехотворны попытки оценивать индивидуальные качества, исходя из усредненных показателей по всей популяции».
Даже самая маленькая вероятность при внимательном рассмотрении не дает повода для однозначных выводов! Вот пример из юриспруденции:
«В 1990 году жертвой все той же ошибки прокурора стал Эндрю Дин, обвиненный в изнасиловании трех женщин в его родном Манчестере на северо-западе Англии. Он был признан виновным и приговорен к 16 годам тюремного заключения. В ходе судебного разбирательства адвокат обвинения Говард Бентам представил результаты анализа ДНК из спермы, найденной на одной из жертв. Бентам утверждал, что ДНК из образца крови Дина совпадает с ДНК из образца спермы. Когда он спросил свидетеля-эксперта: «Значит, вероятность того, что это какой-то другой человек, а не Эндрю Дин, составляет один на три миллиона?», тот ответил утвердительно. А потом добавил: «Я заключил, что сперма принадлежит Эндрю Дину». Даже судья в своем заключении заявил, что соотношение одного к трем миллионам «выражает почти несомненный факт». На деле это соотношение следует трактовать как вероятность того, что профиль ДНК случайно выбранного из всего населения человека будет совпадать с профилем ДНК спермы, найденной на месте преступления. Учитывая, что на тот момент в Великобритании насчитывалось около 30 миллионов мужчин, таких совпадений можно было ожидать у десятерых из них, что резко увеличивало вероятность невиновности Дина – с почти невозможной при соотношении один к трем миллионам до весьма вероятной при соотношении девять к десяти. Конечно, не все из 30 миллионов мужчин в Великобритании были возможными подозреваемыми. Однако даже если ограничиться семью миллионами мужчин, живущих в пределах часа езды от центра Манчестера, мы все равно сможем ожидать, что по крайней мере еще один мужчина соответствует профилю, что делало шансы на виновность или невиновность Дина равновероятными: один к одному. Ошибка прокурора привела к тому, что присяжные посчитали виновность Дина в миллионы раз более вероятной, чем это предполагали улики».
Про «информационную избирательность» и «некорректный фрейминг»:
«При изучении результатов медицинских испытаний положительные результаты нередко преподносят в относительном выражении, чтобы максимизировать их предполагаемую пользу, в то время как побочные эффекты сообщаются в абсолютном выражении, чтобы свести к минимуму видимость их риска. Эту очень распространенную практику (анализ показал, что примеры ее использования встречаются примерно в трети статей о вреде и пользе медицинского лечения, опубликованных в трех ведущих медицинских журналах мира) называют некорректным фреймингом».
Про регрессию к среднему (возврат к норме), эффект плацебо и шарлатанов:
«Значимая причина улучшения состояния пациентов в контрольной группе, – регрессия к среднему. Этот простой статистический эффект не приносит никакой пользы пациентам вообще. Единственный способ определить, какой из двух компонентов эффекта плацебо оказывает наибольшее воздействие, – сравнить результаты «лечения» в контрольных группах с результатами группы, которая не получает лечения вообще. Эти виды испытаний часто считают неэтичными, но в прошлом их провели достаточно много, чтобы показать, что большинство эффектов плацебо на самом деле являются результатом регрессии к среднему. Многие сторонники альтернативной медицины утверждают, что даже если их лечение является не более чем эффектом плацебо, польза от него может быть значительной и стоит того. Тем не менее, если бóльшая часть эффекта плацебо вызвана регрессией к среднему, который не дает никакой реальной пользы для пациента, этот аргумент неубедителен. Другие гуру альтернативной медицины утверждают, что ставку нужно делать не на «искусственные клинические испытания», а на «реальные результаты» – иными словами, на «неконтролируемые результаты испытаний, которые фиксируют только то, как меняется состояние пациента после лечения». Неудивительно, что шарлатаны цепляются за любой аргумент, который позволяет им выдавать последствия регрессии к среднему за благоприятный эффект их знахарства».
Как части тела формировали основу счета у разных народов:
«Хотя система счисления на десятичном основании была наиболее распространенной у наших предков, некоторые культуры выбрали другие основания, исходя из различных аспектов нашей биологии. Индейцы юки, проживающие на территории Калифорнии, ведут восьмеричный счет, используя в качестве маркеров пространство между пальцами, а не сами пальцы. Шумеры основанием системы счисления избрали число 60. Его они получили, подсчитав 12 суставов четырех пальцев правой руки большим пальцем и откладывая пять раз по 12 (в сумме 60) на пяти пальцах левой руки. Народность оксапмин на Папуа Новой Гвинее используют 27-ричную систему: подсчет начинается с большого пальца на одной руке (1), перемещается вверх и вниз по рукам и шее через нос (14) и заканчивается на мизинце другой руки (27). Так что десять пальцев – вовсе не единственные части тела, вдохновившие человечество на создание системы счисления, но они были наиболее очевидными, поэтому наши предки на заре математики чаще всего использовали именно их».
Что общего у нашей системы счисления и шумерской?
«С ростом их сельскохозяйственного общества возникла необходимость точно измерять земельные участки и администрировать налогообложение. Поэтому около пяти тысяч лет назад шумеры изобрели первую позиционную систему счисления – систему, фундаментальные концепции которой со временем распространились по всему земному шару. Цифры записывались в установленном порядке. Символ, расположенный левее, представлял бóльшую величину, чем тот же символ, расположенный правее. В нашей современной системе счисления в числе 2019 девятка обозначает девять единиц, единица – один десяток, ноль – отсутствие сотен, а двойка – две тысячи. С каждым шагом влево одна и та же цифра превращается в число в 10 раз больше. Хотя шумеры выбрали за основу число 60, они использовали точно такой же принцип. Крайний правый столбец представлял единицы, следующий столбец слева – «шестидесятки», следующий – «3600-ки» и так далее. В шестидесятеричной системе шумеров число 2019 составляют девять единиц, одна 60, ноль 3600 и две 216 000, что в десятичной системе составит 432 069. И наоборот, если бы шумеры хотели записать число 2019 в шестидесятеричной системе, их запись выглядела бы примерно так: 33 39, где символ 33 означает 33 шестидесятки (1980), а символ 39 – оставшиеся 39 единиц».
Каково значение позиционной системы счисления для цивилизации?
«Создание позиционной системы счисления является, пожалуй, самым важным научным открытием всех времен. Неслучайно, что научной революции XV века в Европе непосредственно предшествовало широкое распространение на континенте десятеричной индо-арабской позиционной системы счисления (которую мы используем и сегодня). Позиционная система счисления позволяет зафиксировать любое число – вне зависимости от его размера – всего несколькими простыми символами. В египетской и римской системах положение символа не имело глобального значения. Вместо этого значение числа определялось самим символом, а это означало, что обе культуры были логически ограничены в развитии конечным количеством фигур, которые они могли представлять. Однако шумеры могли изобразить любое число на выбор с помощью своего набора из 60 символов. Их развитая позиционная система позволяла им выполнять такие сложные математические действия, как решение квадратных уравнений (которые естественным образом возникают в сельском хозяйстве при распределении земли) и тригонометрических задач».
Почему основание счета «60» так удобно?
«Возможно, основная причина, по которой шумеры использовали шестидесятеричную систему, заключалась в том, что она значительно облегчала деление и операции с дробями. Число шестьдесят имеет множество делителей: на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60 оно делится ровно, без остатка. Попытка разделить фунт (состоящий из 100 пенсов) или доллар или евро (состоящие из 100 центов) на шестерых вызовет разногласия по поводу того, кто получит оставшиеся четыре пенни. Шумерскую мину, состоящую из 60 сиклей, однако, можно было поровну поделить между 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 или даже 30 людьми ко всеобщему удовлетворению. Шумерское 60-ричное основание также позволяет легко и точно поделить торт, например, на 12 равных кусков. Одна двенадцатая в шестидесятеричной системе составляет всего лишь пять шестидесятых. В шумерской «десятичной» записи – это число выглядело бы красиво и аккуратно – 0,5 (первое число после разделителя показывает количество шестидесятых долей, а не десятых), в отличие от уродливых 0,083333… (8 сотых, 3 тысячных, 3 десятитысячных и т. д.) в нашей десятеричной системе. По этой причине шумерские астрономы разделили купол ночного неба – словно круглый торт – на 360 (то есть 6 × 60) градусов, что серьезно облегчило астрономические прогнозы».
Забавная математика о количестве макнаггетсов в одной упаковке:
«Вы когда-нибудь пробовали заказать 43 макнаггетса в «Макдоналдсе»? Как ни странно, эти жареные во фритюре панированные кусочки курицы породили интересную математику. В Великобритании макнаггетсы первоначально подавали в коробках по 6, 9 или 20 штук. Обедая с сыном в «Макдоналдсе», математик Анри Пиччотто решил подсчитать, сколько наггетсов он не сможет заказать одномоментно, используя комбинации из трех коробок. Ответом стал числовой ряд 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 25, 28, 31, 34, 37 и 43. Все остальные «наборы» наггетсов составить было можно; эти числа с того дня стали известны как числа Макнаггетса. Самое большое число, которое нельзя получить, комбинируя с кратными величинами заданного набора чисел, называется числом Фробениуса. Числом Фробениуса для куриных макнаггетсов, таким образом, было 43. К сожалению, когда «Макдоналдс» добавил в ассортимент упаковки по 4 наггетса, число Фробениуса упало до 11».
Отличная математическая стратегия «оптимальной остановки» для выбора ресторана, найма работников и не только:
«Возникает впечатление, что математическая основа некоторых рассмотренных выше алгоритмов оптимизации делает их исключительной прерогативой технологических гигантов, которые массово эксплуатируют эти алгоритмы в коммерческих целях. Однако существуют и более простые алгоритмы – хотя и в их основе лежит сложная математика, – с помощью которых можно вносить вроде бы мелкие, но очень существенные улучшения в нашу повседневную жизнь. Одно из таких семейств известно как «стратегии оптимальной остановки» и позволяет выбрать наилучший момент для вмешательства в процесс принятия решений.
Предположим, например, что вы ищете, куда пригласить своего партнера на ужин. Вы оба очень голодны, но вы бы хотели, чтобы и место было приятным – первое попавшееся не подойдет. Вы считаете, что вполне способны оценить качество каждого ресторана по сравнению с другими. По вашим прикидкам, вы сможете проверить с десяток ресторанов, пока вашему партнеру не надоест шляться туда-сюда. При этом вы не хотите выглядеть нерешительным, поэтому не будете возвращаться в однажды отвергнутый ресторан.
Лучшая стратегия для решения проблем такого рода заключается в том, чтобы посмотреть и сразу отвергнуть некоторые рестораны, чтобы почувствовать общую атмосферу. Вы можете просто выбрать первый ресторан, в который пришли, но, учитывая, что у вас нет абсолютно никакой информации, что это за заведение, есть только один шанс из десяти, что вы случайно выберете лучший. Так что стоит немного подождать и составить мнение о нескольких ресторанах, а потом выбрать первый из тех, что будет лучше, чем все те, в которые вы заходили прежде. Первые три ресторана оцениваются, а затем отклоняются. Седьмой ресторан лучше всех предыдущих, поэтому на нем вы и останавливаетесь. Приятного аппетита! Но достаточно ли посетить три ресторана, чтобы получить надежные основания для отказа? Стратегия оптимальной остановки задается вопросом, сколько ресторанов нужно посмотреть и отклонить, чтобы получить представление о том, какой у вас выбор? Если посетите слишком мало ресторанов, вы не поймете, что предлагается к рассмотрению, но если вы исключите из списка слишком много, оставшийся выбор будет ограничен.
Математика, стоящая за этой проблемой, сложна, но оказывается, что следует оценить и отвергнуть примерно первые 37 % ресторанов (округленные до трех, если их всего 10), прежде чем выбрать следующий, который лучше всех предыдущих. Точнее, нужно отвергнуть 1/e долю всех доступных вариантов, где e – математическое обозначение числа Эйлера. Число Эйлера составляет приблизительно 2,718, таким образом, 1/e – примерно 0,368 или, в процентном соотношении, 37 %. Рис. 22 иллюстрирует, как меняется вероятность выбора лучшего из 100 ресторанов по мере того, как вы варьируете количество ресторанов, которые отвергаете сразу. Если вы поспешите с решением, оно, по сути, сведется к слепому гаданию, поэтому неудивительно, что при слишком раннем выборе вероятность наткнуться на лучший ресторан низка. Аналогично, если вы выбираете слишком долго, то, скорее всего, вы уже пропустили лучший вариант. Вероятность наилучшего выбора максимальна, когда вы отклоняете первые 37 вариантов.
Но что, если лучший ресторан был в первых 37 %? В таком случае, вам не повезло. Правило 37 % работает не каждый раз – оно вероятностное. Вообще алгоритм гарантированно работает только в 37 % случаев. Это лучшее, что вы можете сделать в данных обстоятельствах, но это выгоднее, чем 10-процентный шанс на успех, если бы вы выбирали один из 10 ресторанов наугад, и намного выгоднее, чем 1-процентный, если бы вам пришлось выбирать между 100 ресторанами. Чем выше относительная вероятность успеха, тем шире ваш выбор.
Стратегия оптимальной остановки работает не только для ресторанов. На самом деле изначально математики окрестили ее «проблемой найма».
Математика и эпидемии:
«Существует малоизвестная, но весьма успешная область науки, без лишней помпы работающая над разгадкой тайн инфекционных заболеваний. Предлагая профилактические меры, направленные на то, чтобы остановить распространение ВИЧ и разрешить кризис, вызванный лихорадкой Эбола, математическая эпидемиология играет решающую роль в борьбе с крупномасштабными инфекциями. Начиная с выявления рисков, которым может подвергнуть человечество набирающее мощь движение против вакцинации, и заканчивая борьбой с глобальными пандемиями, математика находится в центре жизненно важных мероприятий, призванных избавить Землю от болезней навсегда».
МОЕ МНЕНИЕ ОБ ИЗДАНИИ:
Качественное издание в традиционном для научно-популярной литературы оформлении.
Формат стандартный (145x215 мм), твердый переплет, без суперобложки, 384 страницы, иллюстрации.
Достоинства издания: хорошее качество печати; белая бумага; твердый переплет; наличие колонтитулов; хорошо выделенные заголовки; примечания; иллюстрации и схемы; информация об авторе.
Недостатки издания: отсутствие научного редактора; очень простая и «дешевая» обложка, не соответствующая уровню книги; нет предметно-именного указателя.
ПОТЕРЯЛ БЫ Я ЧТО-НИБУДЬ, ЕСЛИ БЫ ЕЕ НЕ ЧИТАЛ:
Больше да, чем нет. Это очень увлекательная и полезная книга, содержащая в себе дельные советы и интересные наблюдения. К тому же книга очень доступна, она не про сложные теории, а про конкретную практику.
КОМУ ПОРЕКОМЕНДОВАЛ БЫ:
Книга будет полезна всем, кто хочет узнать, как математика влияет на нашу жизнь. Возможно, эта книга переубедит антипрививочников, успокоит тех, кто получил пугающие результаты тестов, и научит не влезать в долги.
ТЕГИ: Нон-фикшн, науч-поп, математика, логика, статистика, анализ, парадокс, биология, тесты, вероятность.
ВИДЕО В ТЕМУ: Чаще всего мы делаем ошибки в элементарных вычислениях, даже не доходя до сложных процентов или вероятностей. Вы можете проверить себя на простых примерах, благодаря следующему видео-тесту:
https://vk.com/pavelmazheikabooksreview
https://t.me/pavelmazheikabooksreview
Другие мои рецензии на страницах:
Группа "ВКонтакте":
https://vk.com/pavelmazheikabooksreview
Канал в "Телеграм":