Модели роста популяций

Популяция — группа особей одного вида, живущих на одной территории и дающее плодовитое потомство.

У неё есть численность (N). Количество рожденных особей (рождаемость, B) и иммигрировавших из другой популяции (I) прибавляют численность, а смертность (D) и эмиграция (E) — убавляют, поэтому изменение численности во времени будет равно:

ΔN/Δt = B + I — D — E

Но это абсолютные характеристики. Например, рождаемость в 2 детёныша значительна для популяции с общей численностью 10 особей, но ничтожна в популяции численностью 1000 особей, хотя характеристика рождаемости для обоих популяций одинакова. Поэтому в данном случае удобно пользоваться удельными характеристиками: абсолютная, деленная на одну особь. Обозначим их маленькими буквами:

b=B/N

i = I/N

d = D/N

e = E/N

Для характеристики изменения численности введем понятие прироста (r)

r = b + i — d — e

Следовательно, ΔN/Δt = rt

Перейдем к пределу ( Δt устремим к нулю). и получим дифференциальное уравнение dN/dt=rt

Модель экспоненциального роста

Как раз описывается полученным уравнением: dN/dt=rt

Тут прирост популяции пропорционален численности популяции: каждый размножается одинакого, чем больше численность — тем больше потомков

Можно проинтегрировать уравнение и получить:

Численность особей растет по экспоненте:

Так растут популяции, которые не имеют никаких видимых ограничений.

Данная модель была предложена Мальтусом в 1798 г. в его классическом труде «О законе роста народонаселения».

Модель логистического роста

Задается формулой:

Если расскрыть скобки, то можно увидеть 2 члена: rN (знакомый нам экспоненциальный прирост) и ( r*N*N/K) со знаком минус, который увеличиваясь при увеличении N, уменьшает скорость роста.

То есть в модели логистического роста популяция начинает свой рост экспоненциально и замедляет его по мере увеличения своей численности:

Видим, что в итоге популяция достигает максимальной численности, определяемой емкостью экологической ниши (K).

K и r стратеги берутся именно отсюда и отличаются стратегией роста популяции. Первые стремятся взять качеством и достичь K, вторые — берут быстрым приростом (r).

Данную модель предложил Ферхю́льст.

Модель логистического роста с наименьшей критической численностью

Данная модель развивает предыдущую и учитывает 2 фактора:

• для размножения нужна встреча двух особей, вероятность которой равна N*N
• популяция может начать расти лишь тогда, когда имеется критическая численность (L)— минимальное численность популяции, способная поддерживать положительный прирост.

Формула довольна громоздка, поэтому мы приведем только график:

Именно из-за критической численности часто не удается восстановить краснокнижные популяции.

Никита Бизяев

Источники:

Campbell biology. -- 9th ed. p. cm. Rev. ed. of: Biology / Neil A. Campbell, Jane B. Reece. 8th ed. c2009. I. Reece, Jane B. II. Campbell, Neil A., 1946–2004. Biology. III Title: Biology / Jane B. Reece . . . [et al.]. (chapter 53, pp. 1170-1193) 2011

Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. — 2-е изд. испр. и доп. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. — 560 с.

Чернова Н.М., Былова А.М. Общая экология (глава 8.5.3)