Единый математический язык для физики и инженерного искусства в 21 веке

Геометрическая алгебра (ГА) может помочь в унификации математического языка для современной науки. В отличие от векторной, она имеет дополнительные правила и нетрадиционные понятия, и является инструментом, который позволяет пользователю проникать даже в самые мощные области современных научных исследований.

Основы ГА

1) Внешнее произведение между двумя векторами a и b записывается как a ∧ b и представляет собой новую величину, называемую бивектором. Бивектор a ∧ b – это направленная область, охватываемая двумя векторами a и b; таким образом, внешнее произведение двух векторов является новой математической сущностью, кодирующей понятие ориентированной плоскости.

Если мы пронесем b вдоль а, то получим тот же бивектор, но с противоположным знаком (ориентацией). Теперь, расширяя эту идею, мы видим, что внешнее произведение между тремя векторами, a ∧ b ∧ с, получается путем выметания бивектора a ∧ b вдоль c, что дает ориентированный объем или тривектор. Если мы пронесем a через область, представленную бивектором b ∧ с, мы получим тот же самый тривектор (можно показать, что он имеет ту же самую "ориентацию"); этот факт выражает ассоциативность внешнего произведения.

Далее, выпишем основные определения и свойства.

2) геометрическое произведение:

3) базисные вектора:

4) вращение

поворот вектора a на угол θ к вектору a' достигается уравнением:

где R – величина, которую мы будем называть ротором и которая состоит из суммы скаляра и бивектора, а P – это то же самое выражение, но с "+":

Вооружившись очень простой идеей ротора, который совершает вращения, мы можем дать удивительно простые геометрические интерпретации многих других сложных объектов.

Специальная теория относительности

В специальной теории относительности (СТО) мы имеем дело с четырехмерным пространством: тремя измерениями обычного евклидова пространства и временем.

Условно можно получить преобразование координат между разными системами отсчета, и для перемещения между этими двумя системами мы применяем матричное преобразование, известное как преобразование Лоренца. Геометрическая алгебра дает нам прекрасно простой способ работы со специальными релятивистскими преобразованиями, используя не что иное, как формулу для вращений, рассмотренную выше, а именно a' = RaP. Наше пространство теперь имеет четыре измерения, и наши базисные векторы – это три пространственных направления и одно временное направление; назовем эти базисные векторы γ₀, γ₁, γ₂ и γ₃. Для четырех измерений, у нас будет шесть бивекторов (три пространственных бивектора плюс бивекторы, состоящие из пространственно-временных "плоскостей").

Преобразование Лоренца оказывается просто ротором R, который переводит ось времени в другое положение в четырех измерениях: Rγ₀P. Таким образом, элегантным бескоординатным способом мы можем придать преобразованиям СТО интуитивный геометрический смысл. Все обычные результаты СТО совершенно естественно следуют из этой отправной точки. Например, сложные формулы для преобразования электрического (Е) и магнитного (В) полей при лоренцевом ускорении заменяются (гораздо более простым!) результатом

где I = γ₀γ₁γ₂γ₃ – псевдоскаляр четырехмерного пространства (4-объем), а штрихами обозначаем преобразованные величины.

Квантовая механика

В нерелятивистской квантовой механике существуют важные величины, известные как спиноры Паули; используя эти спиноры, мы можем записать уравнение Паули, которое управляет поведением квантово-механического состояния в некотором внешнем поле. Уравнение включает в себя величины, называемые спиновыми операторами, которые обычно рассматриваются как совершенно разные сущности для состояний. Используя трехмерную геометрическую алгебру, мы можем записать эквивалент уравнения Паули, в котором операторы и состояния являются мультивекторами реального пространства; действительно, спиноры становятся роторами того типа, о котором мы говорили ранее.

Гравитация

Электромагнетизм – это калибровочная теория. Калибровочная теория возникает, если мы оговариваем, что глобальные симметрии должны также стать локальными симметриями (в электромагнетизме эти симметрии называются фазовыми вращениями); цена, которую нужно заплатить, чтобы достичь этого, – это введение сил. В геометрической алгебре гравитацию также можно рассматривать как калибровочную теорию, и здесь симметрии гораздо легче понять. Предположим, что мы требуем, чтобы физика во всех точках пространства-времени была инвариантна при произвольных локальных перемещениях и вращениях (вспомним, что под вращениями в четырех измерениях мы подразумеваем лоренцевы преобразования); калибровочное поле, которое вытекает из такого требования, является гравитационным полем.

Следствием этой теории является огромное упрощение возможности обсуждать гравитацию целиком на плоском пространственно-временном фоне. Нет необходимости в сложных понятиях искривленного пространства-времени, которые мы все привыкли связывать с общей теорией относительности Эйнштейна. Именно здесь подход ГА отличается от прошлых подходов калибровочной теории к гравитации, где эти прошлые теории все еще сохраняли идеи искривленного пространственно-временного фона. Локально гауссова калибровочная теория гравитации воспроизводит все результаты общей теории относительности, но глобально эти две теории будут отличаться, когда речь зайдет о топологии. Например, всякий раз, когда обсуждаются сингулярности или горизонты (как в случае с черными дырами), теория ГА может давать различные предсказания обычной ОТО. Некоторые усовершенствованные методы решения, работающие исключительно с физическими величинами, также были найдены в ГА. Калибровочная теория гравитации ГА имеет дело с экстремальными полями (то есть полями, в которых возникают сингулярности) иначе, чем ОТО. Эти особенности рассматриваются просто способом, аналогичным тому, который используется в электромагнетизме (с использованием интегральных теорем). Взаимодействие с квантовыми полями также отличается и предлагает альтернативный путь к квантовой теории гравитации.

Сопромат

Математически мы можем описать деформацию, разделив балку на очень маленькие сегменты и прикрепив системы координат (три взаимно перпендикулярные оси) к центру масс каждого сегмента. Первоначально, при отсутствии нагрузки и кручения, мы ожидаем, что начало координат каждого набора осей будет находиться вдоль осевой линии балки и что каждая система отсчета будет выровнена так, что ось x будет направлена вдоль длины балки, а ось z – вертикально вверх. Теперь, когда луч деформируется, мы можем описать его положение в данный момент времени, указав положение начала координат и ориентацию рамки для каждого сегмента.

Предположим, что у нас есть неподвижная система отсчета на одном конце балки. Тогда система координат на сегменте i будет связана с ней некоторым ротором, Rᵢ. Таким образом, при движении вдоль балки ориентации описываются ротором, изменяющимся с расстоянием x. Для заданной нагрузки и заданных граничных условий можно было бы решить задачу для роторов, чтобы получить информацию о свойствах изгиба балки. Условно эта задача была выполнена с использованием различных средств кодирования вращений: углов Эйлера, параметров вращения, направляющих косинусов, матриц вращения и т. д. Преимущество использования роторов двоякое: во-первых, они автоматически имеют правильное число степеней свободы (три), в отличие, например, от направляющих косинусов (где у нас девять параметров, только три из которых независимы), а во-вторых, мы можем эффективно решать полные уравнения (без аппроксимаций).

Компьютерное зрение и анализ движения

Компьютерное зрение – это, по сути, искусство реконструировать или выводить вещи о реальном трехмерном мире из представлений о сцене, снятых одной или несколькими камерами. Положение и ориентация камер могут быть известны, а могут и не быть известны, и внутренние параметры камер (которые определяют, насколько изображения, которые мы видим, отличаются от тех, которые были бы результатом идеальной проекции на плоскость изображения) также могут быть неизвестны. Из этого довольно упрощенного описания видно, что будет задействовано значительное количество трехмерной геометрии. Фактически, с середины 1980-х годов большая часть компьютерного зрения была написана на языке проективной геометрии.

В классической проективной геометрии мы определяем трехмерное пространство, точки которого соотносятся линиям проходящим через некоторое начало координат (заданную точку) в четырехмерном пространстве. Использующая такую систему алгебра инцидентности (пересечения линий, плоскостей и т. д.) чрезвычайно изящна, и, кроме того, преобразования, которые кажутся сложными в трех измерениях (например, проекция точек, линий и т. д. вниз на данную плоскость), теперь становятся простыми. В последние годы люди начали использовать алгебру, называемую алгеброй Грассмана-Кэли для проективных геометрических вычислений и манипуляций; это фактически внешняя алгебра Грассмана, поскольку она ограничивает себя использованием только внешнего произведения. Геометрическая алгебра содержит внешнюю алгебру как подмножество и, следовательно, является идеальным языком для выражения всех идей проективной геометрии. Однако у ГА также есть понятие внутреннего произведения, часто позволяющее нам делать вещи, которые были бы очень трудными при наличии только внешнего произведения.

Итоги

Кроме рассмотренных разделов физики есть еще множество других, где использование геометрической алгебры заметно упрощает жизнь. Но даже этих достаточно, чтобы в полной мере показать красоту и легкость использования ГА. Современные инструменты математики, с которыми большинство из нас знакомо, разнообразны и сложны. За одну жизнь исследований мы можем надеяться овладеть лишь очень немногими областями. Однако, если бы большинство физиков и математиков использовали один и тот же язык, ситуация, возможно, была бы иной. Возможно, геометрическая алгебра является кандидатом на такой единый язык.