ЕГЭ. 6 дней до экзамена. Разбор неравенств.

Ну всё. Смерть пришла. Пару часов назад писал ЕГЭ по информатике, думал, что не попался на 23, но вроде всё-таки попался и короче пиздец, никкакой соточки блять. Теперь все надежды на математику, но математику я, конечно, тоже всру.

Тем не менее, я обещал вам статью по неравенствам, и я пишу статью по неравенствам. Главное, успеть до десятого.

Для решения неравенств есть всякие методы рационализации, на которые все смотрят и удивляются. Я, пожалуй, оставлю табличку по ним тут, но намного проще научиться выводить их самостоятельно.

Начнём с того, что половина этих формул нахуй не нужна. Прям совсем. Абсолютно.

Точнее, ни одна из этих формул не нужна.

И поскольку мне это невъебенно лень доказывать, я докажу вам это когда мы будем решать. Или я буду решать. Эти разборы вообще кто-нибудь читает?

Вот вам некоторое говно. Решу ЕГЭ говорит, что это с досрочной волны.

В таком виде и оставим.

Дальше методом интервалов. И вот чёрт знает, как оформлять в этой программе метод интервалов. И. Я, пожалуй, дальше буду оформлять статью на бумаге. Так будет проще и мне, и вам. Наверное.

И, возможно, излишняя подробность в объяснениях ни к чему.

Давайте теперь я всё-таки объясню вам, как выводить формулы рационализации, не зная их.

Показывать буду на примере знака «больше или равно», но вы должны понимать, что знак неравенства может быть любой.

Первая формула:

Так мы в один шаг привели первую формулу к виду третьей. Я рекомендую любое выражение с логарифмами пытаться приводить к этому виду.

Что делать дальше — рассмотрим, когда дойдём до формулы номер 3.

Абсолютно то же самое. К слову, любое число можно представить в виде логарифма по любому основанию. Для примера, то же самое, но с двойкой:

Это всё никак к рационализации не относится. Просто свойства логарифмов

Эти свойства дают вам прекрасную возможность. Если вы вдруг не поймёте то, что я собираюсь писать дальше, вам достаточно выучить только третью формулу. Все остальные вы всегда сможете привести к третьей.

Формулы рационализации вообще используются для логарифмов с переменным основанием. Поэтому мы с вами считаем, что у нас все основания переменные. Приступаем к третьей формуле.

Вы помните, как выглядит график логарифма?

Функции y = logx

Как-то так. Когда основание больше единицы. И перевёрнуто, когда основание меньше единицы.

Вот так.

Обратите внимание, что в любом случае график пересекает ось ОХ только в одной точке. И эта точка всегда один. Когда мы говорим о неравенствах, то смотрим только на знак функции. И для логарифма мы просто можем сказать, что он меняет знак при пересечении точки х = 1.

Это значит, что логарифм ведёт себя в неравенствах как прямая. Ну, если не считать хуевой тучи ОДЗ, которое он накладывает.

Таким образом логарифм logx с основанием больше единицы можно заменить на выражение прямой x-1, а логарифм с основанием больше единицы можно заменить на выражение 1-x.

То есть любой логарифм можно заменить на ±(x-1) и знак определяется основанием. Если основание больше 1 — знак плюс. Если основание меньше 1 — знак минус.

А теперь давайте заметим, что если основание больше, чем 1, то если мы вычтем из него 1, то мы получим положительное число. То есть знак плюс. А если мы вычтем 1 из основания меньше, чем 1, то получим отрицательное число. То есть знак минус. Основываясь на это всё мы меняем выражение логарифма на более простую комбинацию обычных скобок:

Только обратите внимание: это работает только при сравнении с нулём. Потому что изначально мы сравнивали логарифм именно с нулём и на графике мы смотрели положение логарифма именно относительно нуля.

Четвёртая формула интересна, но доказывается очень легко.

Когда произведение равно нулю? Когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так происходит у уравнений. В неравенствах когда одна из скобок равна нулю, всё выражение меняет знак после прохождения той точки, в которой эта самая скобка равна нулю.

Если в выражении две одинаковые скобки, то оно меняет знак два раза, то есть не меняет. Это, конечно, надо учитывать, но оно учтётся само собой.

Мы с вами доказали, что каждый отдельный логарифм относительно нуля можно заменить на две скобки. А поскольку логарифма у нас два, то и скобок в два раза больше.

Пятая формула также основана на третьей.

Дальше пошли не логарифмы.

Для показательных выражений все формулы выводятся из того же принципа, из которого мы вывели третью формулу логарифмов. Если вы возводите в положительную степень число больше одного — оно увеличивается. Если вы возводите в положительную степень число меньше одного — оно уменьшается.

На ЕГЭ я никогда не видел показательных функций с переменным основанием, так что, с вашего разрешения, следующие три формулы я объяснять не буду. Вы сможете разобраться в знаках просто посмотрев на числа, которые возводят в степень.

Следующая формула на корни. Мы знаем, что под корнями у нас всегда только неотрицательные числа. И сами корни тоже неотрицательные. Чем больше число под корнем, тем больше корень. Поэтому корни можно просто убрать.

А вот с модулями интересно. Ведь под модулем может стоять и отрицательное число, но ответ всё равно будет положительным

Как я уже сказал, модули всегда положительны. Если мы сравниваем положительные числа, то мы можем сравнить и их квадраты с тем же знаком

Формулы закончились.

Разбор тоже. Из-за ебучей жары я совершенно не могу сосредоточиться на статье, поэтому публикую что есть. Всем, кому это надо, удачи десятого.