ЕГЭ. Разбор №4

Так, теперь, думаю, неплохо написать разбор. Сегодня поработаем по сборнику, не будем сильно часто грабить Александра Александровича. Хочется сказать что-нибудь ещё, но говорить нечего, так что давайте сразу решать.

№1.

Неплохо для первой задачи, нужно подумать.

Если комиссия — 2%, то необходимая сумма равна 98% от той, которую клиент должен заплатить.
950 = 98%
х = 100%

Делаем как в шестом классе.

x = 950/98 * 100 = что-то около 969,4

Поскольку терминал принимает только десяриками, в ответ запишем 970.

Давайте ради интереса посчитаем комиссию от 970.
9,7*2 = 19,4.

Комиссия, как вы видите, не изменилась, так что у клиента должно остаться 60 копеек на будущее.

Ответ: 970

Кстати, к слову о комиссии. Приложение «донаты», конечно, охуенное, но комиссия там тоже охуенная. Я посмотрел, короче, они, или сами банки и кошельки берут что-то около 5-6% с того, кто донатит. 8% вычитают себе и ещё 2-3% банки списывают с того, кто принимает донат. То есть от начальной суммы доната я получаю максимум 85%, остальное отбирают злые бюрократы.

Но и это ещё не всё. Я чего-то решил покопить донаты в приложении, чтобы потом побольше вывести, и, оказывается, с меня списали всё, что там лежало, потому что я их долго не списывал. Около 100 рублей. Грустно немного. Короче, если есть возможность донатить напрямую — лучше делайте так. Напишите в лс паблика, номер киви/сбера скину, это не проблема

Ну и извините за 3 абзаца оффтопа, просто подумал, что в тему.

№2.

21550 — 20750 = 800

Ответ: 800

№3.

Высота 5, основание 6.
5*6/2 = 15

Ответ: 15

№4.

Смущают все эти условия типа «стреляет один раз, если не вышло, то ещё раз». Но, на самом деле, это не играет никакой роли.

Вероятность промаха — 0,4, вероятность двух промахов — 0,4², вероятность, что мишень будет поражена — 1 - 0,4², т.е. 0,84

Ответ: 0,84

№5.

Сразу видно, что

x - 11 = 2

Так что x = 13. Любой второклассник это решит

Ответ: 13

№6.

Прямоугольный треугольник с катетом 4 и гипотенузой 5 это треугольник 3, 4, 5. Это вообще нужно знать наизусть.

АС — прилежащий катет, а синус — это отношение противолежащего к гипотенузе. Поэтому в ответ пишем 3/5.

Ответ: 0,6

№7.

На графике производная, а нас спрашивают про функцию. Функция убывает, когда производная меньше нуля. Первый промежуток — от -1 до 5, он 6 клеточек в длину. Даже визуально он больше. Ну а второй — от 7 до 11, он 4 клеток.

6 > 4.

Ответ: 6.

№8.

Должен, наверное, быть способ проще, но мне проще не приходит.

В основании лежит равносторонний треугольник. Медиана равностороннего треугольника всегда равна √3/2 от его стороны. Это можно посчитать по теореме Пифагора, а можно просто запомнить. В нашем случае это 9/2, как вы видите

Высота пирамиды опускается из вершины пирамиды к точке пересечения медиан. Каждая медиана делится точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины. То есть интересующий нас отрезок будет 2/3 от всей медианы треугольника. Точнее — 9/2 * 2/3 = 3.

А дальше — знакомый нам треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5.

Циферки 3 и 5 у нас уже есть, не хватает лишь цифры 4.

Ответ: 4

Рекомендую вам нарисовать это, если не получается представить в голове.

№9.

Знаете же, что когда степени плюсуются, сами числа перемножаются. 9² это 81, 9^log[9, 2] это 2.

2*81 = 162.

Кто не понял — повторите свойства степеней и логарифмов.

Ответ: 162

№10.

Хуй я клал на ваши спросы, но ладно, ради разнообразия можно порешать.

q = 85 - 5p
r = q*p = (85 - 5p)p = -5p² + 85p
r = 300
300 = -5p² + 85p
5p² - 85p + 300 = 0
p² - 17p + 60 = 0
D = 289 - 240 = 49
p = (17±7)/2 = 12

С минусом я не рассматриваю, потому что нас спрашивают большую. В r я сразу записал 300, потому что ответ нас спрашивают в тыс. руб.

Ответ: 12

Ну, кстати, прикольно. Было бы круто, если бы объём спроса считался по такой простой формуле.

№11.

Ну тут что. Как я предлагаю это считать.

Второй прошёл это расстояние за время 3,5/3,6 = 35/36.

Скорость, с которой расстояние между ними увеличивалось на протяжении этого времени — 3,6 - 2,7 = 0,9.

То есть в момент времени, когда второй дойдёт до опушки —
0,9*35/36 =
9*35/360 =
35/40 =
7/8 =

А потом второй повернул, и это расстояние стало уменьшаться со скоростью
3,6 + 2,7 = 6,3 = 63/10 = 7*9/10 (так удобнее считать)

Это произойдёт по времени через 7/8 : 7*9/10 = 10/(8*9) = 5/36

С начального момента времени пройдёт 35/36 + 5/36 = 40/36 = 10/9 часов или чего-то там.

Ну а поскольку в одном направлении двигался только только один, то умножать время мы будем на его скорость.

2,7*10/9 = 27/9 = 3

Ответ: 3

Надеюсь, я вас окончательно запутал и вы не смогли решить эту задачу.

№12.

Берём производную нахуй. Производная от тангенса, вроде, 1/cos²x, но в крайнем случае, можно вывести.

y' = 4/cos²x - 4 = 0
1/cos²x = 1
cosx = ±1
x = 0, π/2, π, 3π/2

Короче видим, что из всех перечисленных мной херень в промежуток входит только 0, но если мы подставим 0 в функцию, получится 0 - 4*0 + π - 6 = π - 6, что в ответ не запихать.

Значит, подставлять мы будем крайние значения промежутка. Если подставим -π/4, получим:
-4 + π + π - 6 = 2π - 10. Криво

Подставим π/4, получим:
4 - π + π - 6 = -2. Вот это заебись, богоугодная хуйня

Ответ: -2

№13.

а)

25^sinxcosx = 5^√(3)sinx
5^2sinxcosx = 5^√(3)sinx
2sinxcosx = √(3)sinx
2sinxcosx - √(3)sinx = 0
sinx(2cosx - √3) = 0

sinx = 0
x = πk; k € Z

cosx = √3 / 2
x = ±π/6 + 2πn; n € Z

Такое красивое решение.

б)

Ну сразу видно корни 3π и 4π, я их показал красным. И ещё один корень нужно посчитать, зелёный:

4π - π/6 = 23π/6

Ответ:
а)
x = πk; k € Z;
x = ±π/6 + 2πn; n € Z.
б) 3π, 23π/6, 4π.

Да, я решил нарушить традицию и решать всё подряд. Но по-прежнему не рекомендую так делать на экзамене.

Начнём с того, что правильная пирамида и правильный тетраэдр — это разные вещи. У пирамиды основание всегда определено и оно только одно, у тетраэдра основанием можно назвать любую грань.

Если бы не слово «правильный» эти различия остались чисто теоретическими. Но в нашем случае это принципиально.

У правильной пирамиды боковые грани — равные равнобедренные треугольники, а основание — некоторый равносторонний треугольник. В правильном тетраэдре же все грани равны.

У нас в условии написано, что это пирамида, причём даже указаны её рёбра.

В первом вопросе написано что-то про высоту пирамиды, так что рисуем сразу с ней.

Напоминаю, а кому-то сообщаю, что в правильной треугольной пирамиде высота опирается на точку пересечения медиан основания. А каждая медиана основания делится этой точкой в отношении 2:1.

Так. Обозначим середины сторон ВС и SA за N и M соответственно.

Ну и что мы видим? Точка M по условию лежит на AS, а точка N на АО. Это значит, что прямые ЫЩ и ЬТ лежат в одной плоскости ФЩЫ. Остаётся доказать, что они не параллельны.

Кто не понял, что за ЫЩ и ЬТ — это SO и MN, мне просто было лень переводить раскладку, но я уже понял, что это плохая идея.

Итак, доказать, что они не параллельны. Для этого покажем, что в треугольнике ASN SO — высота, опущенная из одной вершины, а NМ — медиана, опущенная из другой. Они не могут быть параллельны. Хз, как называется теорема, которая официально это утверждает, но они точно не могут быть параллельны.

А, нет, могут. Но только тогда высота должна лежать за пределами треугольника, а у нас она внутри.

Можно по-другому. Параллельные прямые по теореме Фалеса делят два луча в равных отношениях. В нашем случае такие лучи — AS и AN. Точкой О последний делится в отношении 2:1, а точкой M первый делится в отношении 1:1. Причём в противоположном направлении.

Можно доказывать через углы, но тогда их надо искать, а это пиздец как долго.

Можете просто поверить мне на слово. Хотя вряд ли это прокатит на экзамене.

Короче, наиболее экономный по времени и уверенный вариант — через Фалеса.

Так, ну мы доказали, что эти прямые не параллельны. Поскольку они лежат в одной плоскости, они пересекаются. Что отвечает вопросу задачи.

б) Плоскость ANS перпендикулярна ABC. Их пересечение — прямая AN. За угол между прямой и плоскостью берут меньший. Мы запишем в ответ угол ANM, если он острый. Если он тупой — мы запишем 90°.

Считать в любом случае придётся. Ну и да, он не тупой, потому что этот угол может быть тупым только у очень ебнутой пирамиды (не уверен, что вообще может быть), а правильная пирамида ёбнутой не бывает.

Считать будем постепенно.

CN = BC/2 = 6√3
SN² = SC² - CN² = 169 - 108 = 61 — теорема Пифагора
SN = √61

AN = AB/√3 = 12 — высота равностороннего треугольника (Если хотите, можете проверить по теореме Пифагора, вообще высота равностороннего треугольника всегда меньше стороны в √3 раз)

В треугольнике ASN, по теореме косинусов:

cosA = (AS² + AN² - SN²)/(2*AS*AN) =
(169 + 144 - 61)/(2*13*12) =
252/312 =
21/26

AM = AS/2 = 13/2 = 6,5

В треугольнике AMN, по теореме косинусов:

MN² = AM² + AN² — 2*AM*AN*cosA =
42,25 + 144 — 13*12*21/26 =
60,25 = 241/4

MN = √241 / 2

Если cosA = 21/26, то sinA = √235 / 26 (по основному тригонометрическому тождеству)

А дальше по теореме синусов:

sinA / MN = sinN / AM
sinN = AM*sinA / MN
sinN = (2*13*√235)/(2*26*√241)
sinN = √235 / 2√241

Очень криво вышло. Ещё и в знаменателе корень, а домножать на него числитель вообще страшно. Конечно, можно это сделать и оставить ответ таким, но я предлагаю посчитать тангенс. Хотя бы потому, что в сборнике в ответе указан тангенс, а я хочу себя проверить.

cosN = 27 / 2√241
tg = √235 / 27

Спешу вас обрадовать, в сборнике ответ arctg 5/24, что почему-то не сходится с нашим.

Оставляю вопрос открытым, потому что стереометрия меня заебала. Эта задача, конечно, не сложная, но я где-то ошибся.

№15.

Ура, наконец-то что-то нормальное.

Вроде всё достаточно подробно. Я перенёс всё влево, расписал через свойства логарифмов, с учётом первоначальной ОДЗ составил систему, мысленно решил второе и третье неравенства системы и объединил их под выражением II, решил I, с учётом того, что основание логарифма больше 1 — иначе бы знак поменялся на противоположный, — заменил 8 степень на квадрат [полностью убирать степень можно только с модулем, а это не так удобно], расписал через формулу сокращённого умножения, хотя это можно сделать иначе, записал метод интервалов и объединил I и II, записав в ответ промежутки с «ёлочкой»

Пиздец, геометрия, опять.

Нарисуем пересекающиеся окружности разных радиусов. Отметим точки А и В. Прочитал условия, и пока хз, зачем там точка В, она ни в чём не участвует вроде. Но ок, отметим.

Теперь из точки А проведём такую хорду в большой окружности, чтобы она делилась точкой пересечения с маленькой пополам. Отметим эту точку пересечения.

Теперь спроецируем О1О2 на эту хорду. Для этого нужно провести из центров окружности перпендикуляры к ней. Обозначим эти точки за О' и O''.

Визуально O'O'' действительно меньше АС в два раза. Да, я забыл отметить С, сейчас исправлю.

Так вот. Что-то мне подсказывает, что точка O'' и точка М — одно и то же. В общем-то, это легко доказать.

Треугольник АСО2 — равнобедренный, так как образован двумя радиусами и хордой. О''O2 — перпендикуляр к АС, то есть высота в этом треугольнике, опущенная к основанию. А в равнобедренном треугольнике высота и медиана — это одно и то же [в смысле, те, что опущены к основанию]. Медиана делит основание на две равные части, как и точка М. Следовательно, O'' — это М.

Точка М лежит на окружности с центром О1. Точка А тоже. Треугольник AMO1 равнобедренный, образованный двумя радиусами. А O'O1 — его высота и медиана. Таким образом, MO' = AM/2 = AC/4, ч.т.д.

б) Исправим рисунок в связи с тем, что мы уже знаем. Для удобства, переназовём проекцию точки О1 на АС буквой N. И проведём О1О2

И давайте всё-таки построим треугольники ACO2 и AMO1

Что думаете? Давайте запишем, что нам дано по условию:
AO1 = MO1 = 5
AO2 = CO2 = 17
AC = 16

Будем обрабатывать информацию, пока что-нибудь не увидим или к чему-нибудь не придём.

Сразу можно записать:
AM = 8
AN = 4
MN = 4

Дальше из прямоугольных треугольников:
O2M² = O2A² — AM² = 225
MO2 = 15

Аналогично,
NО1 = 3

Вот, придумал.

MO2 мы знаем, MO1 тоже. Найдём косинус угла O1MO2 и по теореме косинусов найдём О1О2.

угол NMO2 = 90°

cosO1MO2 = cos(90° + NMO1) =
cos90°cosNMO1 - sin90°sinNMO1 =
-sinNMO1.

sinNMO1 = NO1 / MO1 = 3/5
cosO1MO2 = -3/5

O1O2² = O1M² + O2M² - 2*O1M*O2M*cosO1MO2
= 25 + 225 +2*5*15*3/5
= 340

O1O2 = √340 = 2√85

В сборнике такой же ответ.

Ответ: O1O2 = 2√85

Мы с вами решали уже дохуялиард таких задач, так что это совершенно несложно.

Начнём с чего? С того, что каждый месяц сумма уменьшается на одно и то же число. Возьмём число S такое, что начальная сумма кредита =15S.

Тогда в последующие месяцы долг будет 14S, 13S, 12S, 11S… S, 0.

Пусть x[n] — сумма, которую клиент выплатил в n-й месяц.

И ещё давайте перейдём от процентов к долям. Пусть p = 1 + r/100. Тогда получим систему:

p15S - x[1] = 14S
p14S - x[2] = 13S
p13S - x[3] = 12S
p12S - x[4] = 11S
p11S - x[5] = 10S
…
pS - x[15] = 0

Теперь давайте сложим все эти уравнения. Пусть x[n-m] — сумма, которую клиент выплатил с n-го месяца по m-й.

pS(15+14+13+12…+1) — x[1-15] = S(14+13+12…+0)

По сути, x[1-15] — это та сумма, которую клиент выплатил вообще. Она, по условию, на 24% больше, чем 15S, то есть x[1-15] = 1,24*15S

pS(15+14+13+12…+1) — 1,24*15S = S(14+13+12…+0)

Заметим, что можно сократить выражение на S. Она вряд ли нулевая, ибо нахуй кому-то вообще нужен нулевой кредит.

p(15+14+13+12…+1) — 1,24*15 = (14+13+12…+0)
p(15+14+13+12…+1) = 1,24*15 + 14+13+12…+0
120p = 123,6
p = 123,6/120
p = 1236/1200
p = 206/200
p = 103/100
p = 1 + 3/100 = 1 + r/100
r = 3.

Ответ: r = 3

№18.

Задача с параметром. Приятная.

Давайте раскроем модуль. Для этого нужно решить неравенство
x² - 8x + 7 ≥ 0
(x-1)(x-7) ≥ 0
x € (-inf; 1] U [7; +inf)

Таким образом на промежутке (1; 7),
f(x) = 2ax - x² + 8x - 7
f(x) = -x² + (2a+8)x - 7

Это, как вы видите, парабола. Точнее, её кусок. Её ветви направлены вниз. Независимо от её расположения, её нижней точкой будет либо f(1), либо f(7), так как за пределами этих иксов парабола просто не существует. Таким образом,

f(1) = -1 + 2a + 8 - 7 > 1
2a > 1
a > 0,5

f(7) = -49 + 14a + 56 - 7 > 1
2a > 1
a > 0,5

Заебись.

Теперь рассмотрим ту часть функции, которая лежит за пределами промежутка (1; 7).

f(x) = 2ax + x² - 8x + 7
f(x) = x² + 2(a-4)x + 7

Это тоже парабола, только её ветви направлены вверх. Её нижняя точка, как вы догадываетесь — начало параболы. Но только не в том случае, когда начало параболы потенциально лежит в промежутке (1; 7), в котором эта парабола не существует. Возможно, это надо будет учитывать.

Независимо от того, где находится начало параболы, f(1) и f(7) будут лежать выше. То есть f(1) > 1 и f(7) > 1. Поскольку в этих точках модуль равен нулю, мы это уже учли выше. a > 0,5.

Теперь к началу параболы. Пусть это точка О с координатами (m, n) — по канону.

Для m есть формула:
m = -b/2a, где a — первый коэффициент, а b — второй коэффициент квадратного уравнения. Не путайте это a с тем a, что у нас в нашем выражении.

Итак,
m = 4-a.

И эта точка может лежать где угодно, но только не в перделах (1; 7).
То есть для любых
1 ≤ 4 - a ≤ 7, то есть для любых
-3 ≤ -a ≤ 3, то есть для любых
-3 ≤ a ≤ 3,
справедливо:
f(m) > 1
f(4-a) = (4-a)² - 2(4-a)² + 7 > 1
-(4-a)² > -6
(4-a)² < 6
|4-a| < √6
-√6 < 4-a < √6
-4 - √6 < -a < -4 + √6
4 - √6 < a < 4 + √6

Составим из этого систему:

-3 ≤ a ≤ 3
4 - √6 < a < 4 + √6

√2 — что-то около 1,4
√3 — что-то около 1,7
√6 — их произведение. Что-то вроде 2,4. Ну явно больше, чем -3.

В общем, у меня выходит тут, что a € (4-√6 ; 3]

Но это ещё не всё. Теперь разберёмся с оставшимся промежутком.

a € (- inf; -3) U (3; +inf)
a > 0,5

Как итог: a € (3; +inf)

Теперь объединим эти два промежутка.

Получим: a € (4-√6; +inf)

Я бы записал это в ответ, но в сборнике снова другой ответ. Похоже, вас прокляли, я вообще хз, где ошибка. Пишите в комменты, если найдёте или если считаете, что составители тупые.

Для справки, в сборнике ответ a € (0,5; 4+√6).

Так, сорян, я нашёл ошибку. Какого-то хуя я поменял местами выражения в системах. Они должны быть:

a € (- inf; -3] U [3; +inf)
4 - √6 < a < 4 + √6

И

-3 ≤ a ≤ 3;
a > 0,5

В итоге имеем два выражения:
a € [3 ; 4+√6)
и
a € (0,5 ; 3]

Объединим их, получим a € (0,5; 4+√6). То, что в сборнике.

Ответ: a € (0,5; 4+√6)

Я бы мог удалить часть с ошибкой, исправить её на правильную и не путать вас, но не буду этого делать, чтобы вы в очередной раз убедились, что я тупой.

№19.

Хочу просто расслабиться и порешать 19.
Сразу видно, что 1008 делится на 2.
504 тоже.
252 тоже.
126 тоже.
63 не делится на 2, но делится на 9 и 7.

1008 = 1*2*2*2*2*3*3*7

Геометрическая прогрессия это когда
b[2] = b[1] * q
b[3] = b[2] * q
и так далее.

Начнём выполнять это задание с конца.
в) Да. 1008 = 1*2*4*9*14
5 чисел, 1, 2 и 4 — геометрическая прогрессия.

б) Нет.
Пусть b1, b2, b3 и b4 — эти четыре числа, образующие прогрессию.
b2 = b1*q
b3 = b1*q*q
b4 = b1*q*q*q

Пусть с — пятое число из набора. Тогда по условию
1008 = b1*b2*b3*b4*c
1008 = b1*b1*b1*b1*q*q*q*q*q*q*c

То есть 1008 должно расписываться на 11 множителей, среди которых есть 4 равных и ещё 6 равных. А мы помним, что
1008 = 1*2*2*2*2*3*3*7

Конечно, мы можем навтыкать сколько угодно единиц, но, по условию, b1, b2, b3, b4 — различные числа, а если q = 1, то b1=b2=b3=b4. Двоек, троек или семёрок мы набрать 6 штук не сможем. Поэтому ответ — нет.

Если бы можно было брать равные числа, то в ответ бы мы записали
1008 = 2*2*2*2*63 или
1008 = 1*1*1*1*1008

а) Нет.
Аналогично, но ещё хлеще:
1008 = b1*b1*b1*b1*b1*q*q*q*q*q*q*q*q*q*q
Тут ещё и нет с, так что мы не сможем скинуть все неиспользованные множители в последнее число.

Ответ:
а) Нет
б) Нет
в) Да