Всё, что вам нужно знать об арифметической прогрессии

Вчера мне скинули одну прикольную задачу за 10 класс, с олимпиады муниципального уровня. Не знаю, как там у них с вопросом того, когда можно-нельзя публиковать задачу, поэтому я немного изменил циферки и буковки.

Решите уравнение:
(y+3)(y+6) — (y+6)(y+9) + (y+9)(y+12) — (y+12)(y+15) + [...] — (y+2016)(y+2019) = 0

Вместо пропуска, как вы поняли, ещё 667 (спойлер) таких же многочленов.

Ещё спойлер: основной инструмент, которым мы с вами будем пользоваться — арифметическая прогрессия.

Девятиклассники спросят: че за хуйня эта ваша арифметическая прогрессия? Поэтому объясняю с нуля.

Вообще там всё пишут с подстрочным индексом, но поскольку, как мы выяснили, статьям ВК похуй на математику, я буду писать индекс в квадратных скобках.

Так вот, в любой арифметической прогрессии есть члены,
их количество — n.
Каждый отдельный член обозначается как a[1], a[2], a[3]… a[n].
И отличается каждый член от предыдущего на d.

Например,

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13

это арифметическая прогрессия. Чтобы описать её, нам достаточно трёх букв:

a[1] = 1
d = 2
n = 7

Ну и короче, всё, что вам надо знать, легко найти в любом поисковике по запросу: «арифметическая прогрессия». Например, я нашёл такую вот табличку:

В таблице есть ошибки в формулах для S: в первой в знаменателе должно быть 2, а не n; во второй в числителе перед скобкой должен быть +, а не —

Ну а теперь вернёмся к уравнению, перепишу его ещё раз:

(y+3)(y+6) — (y+6)(y+9) + (y+9)(y+12) — (y+12)(y+15) + [...] — (y+2016)(y+2019) = 0

Давайте возьмём одно слагаемое в общем виде:

(y+a)(y+b) = y² + ay + by + ab = y² + (a+b)y + ab

Напоминаю, у — это переменная, a и b — числа.

В нашем уравнении на каждый «+» приходится «-», поэтому все y²
истребят друг друга в неистовой ебучей войне не на жизни а блять блин.

Теперь давайте разберёмся, че там с коэффициентом при у. Как мы выяснили, в каждом отдельном произведении будет (a+b) игриков. Выпишем для первых восьми членов:

9 -15 +21 -27 +33 -39 +45 -51…

Как вы видите, у нас прогрессия. А точнее, разность сумм двух прогрессий.

Первая: 9+21+33+45…+4029
Вторая: 15+27+39+51…+4035

n у этих прогрессий равны между собой. Давайте посчитаем. Если в первом члене стоит первое +3, и это первый член, во втором — +6, и это второй, то у +2016 номер будет 672. Ну а поскольку у нас две прогрессии, 672 нужно разделить на 2. 672 : 2 = 336 = n

Делать нехуй, считаем сумму.
В первой S = (9+4029)n/2 = 2019n
Во второй S = (15+4035)n/2 = 2025n

А общий коэффициент при y будет 2019n — 2025n = —6n = —2016

Это всё просто. Теперь то, что поставило меня вчера в ступор: свободный коэффициент. Если вы не знаете, что такое свободный коэффициент, задайте себе вопрос: «От чего он может быть свободным?». От переменной, блять, от чего же ещё?

И с ней сложнее. Я выписываю ab:

18 -54 +108 -180 +270 -378 +504 -648

«+»: 18+108+270+504
«-»: 54+180+378+648

Вы, наверное, не заметили, но:
108-18=90; 270-108=162; 504-270=234;
162-90=72; 234-162=72.

Это называется прогрессией второго порядка, и я ебал таких в жопу.

Самый простой пример арифметической прогрессии второго порядка:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64

Разности между членами образуют прогрессию первого порядка:
3, 5, 7, 9, 11, 13

Это чтобы вы поняли, о чём я, на маленьких числах проще.

Ну а нас интересует сумма этой прогрессии. Я гуглил и яндексил и могу с уверенностью вам сказать: хуй вы че найдёте по этой теме. Поэтому мне пришлось выводить формулу самому, ну а вам её дам я.

Давайте так. Пусть
а — первый член,
b — первая разность,
c — разность разности (увеличение разности).

Запишем каждый член через эти три величины:

a[1] = a
a[2] = a + b
a[3] = a + b + b + c = a + 2b + c
a[4] = a + 2b + c + b + 2c = a + 3b + 3c
a[5] = a + 3b + 3c + b + 3c = a + 4b + 6c
a[6] = a + 4b + 6c + b + 4c = a + 5b + 10c
a[7] = a + 5b + 10c + b + 5c = a + 6b + 15c
…

В общем, как вы можете заметить, коэффициент при a не растёт, поэтому в сумму войдёт как na.
коэффициент при b растёт в арифметической прогрессии первого порядка, поэтому войдёт как n(n-1)b/2
а при с — в прогрессии второго порядка, и войдёт в сумму как kc.

Таким образом, сумма арифметической прогрессии задаётся формулой:
S = na + n(n-1)b/2 + kc, где k — сумма другой прогрессии второго порядка

Это блядская рекурсия. И выйти из неё очень сложно. Я рисовал себе треугольник с коэффициентами:

1
1 2
1 4 1
1 6 1 2
1 8 1 4 1
1 v 1 6 1 2
…

v = 10, просто если писать 10, треугольник съезжает. Я пытался брать сумму столбиков, пытался делить на подобные ячейки и считать их. Всегда всё сводилось к прогрессии второго порядка.

Я охуел, пизда она доёбливая. Съебись, ебучая шлюха. Хуле тебе от меня надо.

И я решил посмотреть на первые два слагаемых: na + n(n-1)b/2

Кстати, это сумма прогрессии первого порядка, только записанная в более удачном, на мой взгляд, виде.

Я провёл ассоциацию с производной, и просто от балды решил подставить
k = n(n-1)(n-2)/3

И это, блять, сработало. Почти. Каждый раз k по моей формуле получалось в 2 раза больше, чем было на самом деле. То есть делить надо не на 3, а на 6. То есть на 3! (я не кричу, это факториал!)

И всё. Формула готова. Та формула, которую вы не найдёте нигде {наверное}.

Если вы шарите в комбинаторике, вы сразу увидите дальнейший ряд для прогрессии следующих порядков.

Если вы геометр, вы увидите здесь формулы площади прямоугольного треугольника и объёма прямоугольной пирамиды.

В математике всё близко связано.

Понятно, что дальше будет
n(n-1)(n-2)(n-3)d/24,
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)e/120
и так далее

Остаётся только подставить всё в нашу задачу.

Напомню, мы остановились на:

«+»: 18+108+270+504
«-»: 54+180+378+648

В первой прогрессии a=18, b=90, c=72, n=336,
Во второй: a=54, b=126, c=72, n=336

Понятно, что при вычислении разности сумм, части, в которых содержится с сократятся [это доказывает, что я долбоёб, и там всё можно было решить через прогрессию первого порядка], и останется
18n — 54n + 45n² — 45n — 63n² + 63n = —18n² — 18n

Тогда у нас

—6ny — 18n² — 18n = 0
x = —3n — 3 = —3*336 — 3 = —1011

Ответ: y = —1011

Проще задачу можно было решить, разделив на 336 отдельных разностей пары произведений. Разности коэффициентов при y у каждой пары равны между собой, и равны 6. Разности свободных коэффициентов составляют арифметическую прогрессию первого порядка, что значительно упрощает работу. Но ладно уж, зато вывели формулу.