Теорема Виета

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью формулы для корней можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в определении коэффициентов«a», «b» и «с» в квадратных уравнениях. Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Запомните!

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом:

x2+ px + q = 0

Обратите внимание, что разница с обычным общим видом квадратного уравнения «ax2+ bx + c = 0» в том, что в приведённом уравнении «x2+ px + q = 0» коэффициент «а = 1».

Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x2+ px + q = 0» с обычным общим видом квадратного уравнения «ax2+ bx + c = 0», то становится видно,
что «p = b», а «q = c».

Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Как использовать теорему Виета

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Запомните!

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2+ px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» — значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».

Рассмотрим пример.

x2+ 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение считается приведённым, значит, можно использовать метод Виета. Выпишем коэффициенты «p» и «q».

• p = 4
• q = −5

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения «x1= −5» и «x2= 1». Запишем ответ.

Ответ: x1= −5; x2= 1

Рассмотрим другой пример.

x2+ x − 6 = 0

Методом подбора получим, что корни уравнения «x1= −3» и «x2= 2». Запишем ответ.

Ответ: x1= −3; x2= 2

Важно!

Если у вас не получается решить уравнение с помощью теоремы Виета, не отчаивайтесь. Вы всегда можете решить любое квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней.

Деление уравнение на первый коэффициент

Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.

Сейчас в уравнении «a = 2», поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2». Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Теорема Виета в общем виде

В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений, где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.

Ответ: x1= −3; x2= 2

В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.

Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в которых «a = 1». Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.

Источник: http://math-prosto.ru