К вопросу расчёта устойчивости в ЛИРА САПР. Часть 2

В рамках данной статьи будет рассмотрен вопрос обеспечения устойчивости шарнирно опертого стержня, при помощи упругого закрепления.

Расчёт устойчивости в линейной постановке

Исходные данные

В качестве примера возьмём расчётную модель консольного стержня, рассмотренную в предыдущей статье https://vk.com/@lirasaprtraining-k-voprosu-rascheta-ustoichivosti-v-lira-sapr. Параметры модели: консоль высотой 5 м сечением двутавр 25К1, нагруженная вертикальной продольной силой величиной 100 т.

Выполним расчёт модели и определим коэффициент запаса устойчивости и коэффициент расчётной длины:

КЗУ=1.91565, Ly=2;

Теперь, перед нами стоит задача, изменить конструкцию таким образом, чтобы стержень имел шарнирную опору вверху и жёсткую заделку внизу. Чтобы обеспечить шарнирное закрепление вверху, создадим на верхнем конце стержня упругую опору, но перед этим посчитаем модель с идеальным закреплением верхнего конца стержня, т.е. когда наложена связь. Также стержень разделим по длине на 10 частей, чтобы можно было оценить деформации при потере устойчивости:

КЗУ=15.5596, Ly=7, при длине одного стержня L/10, подучаем коэффициент расчётной длины всей стойки равным 7/10=0.7. Также определим критическую силу, при которой произойдёт потеря устойчивости стержня, для этого нужно умножить действующую нагрузку на КЗУ: 100т*15.5596=1555.96 т.

Вычисление необходимой жёсткости пружины

Создадим новую расчётную модель, с закреплением верхнего конца упругой связью, для чего будем применять КЭ51 с жёсткостью ориентированной вдоль оси Х, а также приложим к верхнему концу стержня критическую силу, определённую на предыдущем этапе.

Определяем жёсткость пружины, раскрепляющей верхний конец. Эту величину будем определять исходя из условия равенства изгибающих моментов относительно нижнего конца стержня, в ситуации, когда верхний конец отклонён на условную величину 1 м, при этом вертикальная сила вызывает изгибающий момент равный 1555.96*1 м, а горизонтальная пружина на верхнем конце должна этот момент компенсировать.

Необходимая жёсткость пружины Rx=1555.96*1/5=311.19 т/м, назначим данную жёсткость КЭ51, примыкающего к верхнему концу стержня, и выполним расчёт модели с проверкой КЗУ и Ly.

КЗУ=0.754872, Ly=8.047, как видно, результаты отличаются от тех, что были получены при расчёте модели с неподвижным закреплением верхнего конца стержня. Чтобы добиться совпадения результатов, попробуем увеличить жёсткость пружины в 2 раза Rx=311*2=622 т/м.

Как видно, коэффициент запаса устойчивости стал выше, а коэффициент расчётной длины уменьшился, но результаты по-прежнему расходятся с эталонными. Определим требуемую жёсткость пружины методом последовательных приближений, увеличивая Rx на каждом шаге на величину F/L, результаты расчётов сведём в таблицу и представим в виде графика:

Из результатов расчётов видно, что значения КЗУ и Ly стабилизируются по достижении величины Rx=3*F/L.

Следует понимать, что рассматриваемая задача, в рабочем проектировании, встречается крайне редко, поскольку в ней мы рассматриваем стержень при действии на него критической силы, в то время как эксплуатационные нагрузки будут в несколько раз меньше данной величины, однако полученная закономерность, может быть полезна при вычислении необходимой жёсткости упругой связи, при действии эксплуатационных нагрузок.

Определение требуемой жёсткости связи при действии эксплуатационной нагрузки

В качестве примера возьмём исходную задачу, с величиной нагрузки F=100 т. Для определения жёсткости пружины, решим данную задачу в геометрически нелинейной постановке, стержень при этом должен быть разделён на отдельные части, т.к. при учёте геометрической нелинейности обязательно наличие промежуточных узлов по длине стержня.

Нагружение стержня будем производить в 2 этапа:

1 Зададим горизонтальное отклонение верха стержня (начальное несовершенство);

2 Приложим эксплуатационную нагрузку, которая будет вызывать изгибающий момент, из-за эксцентриситета, и тем самым приводить к ещё большему отклонению;

По величине итогового отклонения верхнего конца стержня будем судить о том, достаточно принятой жёсткости пружины, или нет.

Создание нелинейной задачи

Возьмём исходную задачу и выполним смену типа КЭ для всех стержней:

В первом загружении, сообщим верхнему концу стержня горизонтальное перемещение, величину которого определим по таблице 4.9 СП 70.13330.2012:

Предельное отклонение осей колонн при длине свыше 4000 мм до 8000 мм - +/- 10 мм.

Во втором загружении будет приложена вертикальная нагрузка F=100 т. После приложения нагрузок, необходимо сформировать историю нагружения:

Каждое загружение разбиваем на 10 шагов, и выводим на экран перемещения и усилия после каждого шага.

Начальную жёсткость пружины (КЭ51) в уровне верхнего конца колонны определим по формуле Rx=F/L=100/5=20 т/м.

Проверка результатов при начальной жёсткости пружины

Выполним расчёт задачи с начальной жёсткостью пружины и определим горизонтальные перемещения верхнего конца после приложения всей нагрузки:

Как видно, итоговые перемещения составляют 110 мм, дополнительные перемещения, от действия вертикальной силы с эксцентриситетом, составят 110-10=100 мм, что в 10 раз больше начального отклонения. Вывод: необходимо увеличить жёсткость пружины.

Вычисление требуемой жёсткости пружины

Для определения требуемой жёсткости пружины, воспользуемся закономерностью, полученной ранее: Rx=3*F/L, в результате получим Rx=3*100/5=60 т/м. Назначим данную жёсткость пружине (КЭ51), и проверим результаты геометрически нелинейного расчёта.

Из результатов расчёта видно, что итоговое горизонтальное перемещение составит 14.8 мм, прибавочное 4.8 мм, что почти в 2 раза ниже начального, исходя из чего сделаем вывод, что принятой жёсткости пружины достаточно для обеспечения устойчивости колонны.

Подбор сечения связи

Принимаем конструкцию вертикальной связи в виде одной наклонной ветви, расположенной под углом 45 градусов к горизонту, соединяющую основание с верхним концом стойки. При подборе сечения связи, следует учитывать следующие факторы:

1 Наклон связи к горизонту;

2 Геометрическая длина связи;

3 Гибкость связи;

Разберём влияние этих двух факторов на работу вертикальной связи.

Учёт наклона связи к горизонту

Поскольку, при отклонении верхнего конца стойки, в ветви вертикальной связи будет возникать продольное усилие, вектор которого будет наклонён к горизонту, необходимо разделить величину продольного усилия на косинус угла наклона, чтобы получить силу, действующую перпендикулярно оси стержня стойки: N=Nx/cos45. Поскольку возникающая продольная сила пропорционально зависит от осевой жёсткости связи, то вместо величины N, в формулу можно подставить величину EF (осевая жёсткость), а вместо Nx, подставляем жёсткость пружины, полученную на предыдущем этапе Rx=60 т/м.

При подготовке статьи использованы материалы видео «Повелитель связей. Часть 1. Что делает связь связью?»