Ты никогда не выйдешь из моды, если ты — мода: что измеряют меры центральной тенденции

Александр Сойнов & Александр Кулябин

Мы продолжаем идти по базовым понятиям статистики, и информацию из настоящей статьи (равно как из всех предыдущих) вы сможете приложить к реальной жизни и реальным научным статьям.

Небольшой спойлер: все дальнейшие понятия, мы уверены, вы знаете. Мы лишь объединим их и объясним, что они означают в контексте статистики.

Введение

В прошлый раз мы определились с типами данных, которые собираемся анализировать. Сегодня же мы расскажем, как в целом охарактеризовать полученные нами результаты.

Для начала мы визуально отобразим все значения изученных нами показателей на гистограмме частот, где по оси Х будут откладываться полученные значения, а по оси Y количество этих значений.

Например, мы изучали какой рост встречается в определенной группе людей. По оси Х мы отразим все полученные нами переменные, а по оси Y – сколько людей имели тот или иной рост (это может быть отражено как столбцами, так и просто линией).

Изобразив график, мы можем начать изучение полученного нами распределения показателей. Этим занимается описательная статистика. Она включает два больших раздела. Нас может интересовать как что-то единое, общее для всех известных нам переменных (меры центральной тенденции), проще говоря — поможет ответить на вопрос, что объединяет наши данные, так и то, насколько эти переменные друг от друга отличаются (меры изменчивости).

О первой группе мы сегодня и поговорим.

Мода, медиана, среднее значение

Итак, меры центральной тенденции включают в себя множество понятий. Некоторые мы уже упоминали, о некоторых будем говорить в других статьях. Сегодня же мы опишем самые базовые.

К ним относятся:

• Мода

• Медиана

• Среднее значение

Мода

Это понятие кажется нам интуитивно понятным благодаря далеко не медицинским знаниям и, грубо говоря, оно обозначает именно то, что мы все представляем, слыша это слово. Мода – это самое частое встречающееся значение в описываемой совокупности.

На графике моду обозначает самая высокая точка пика. Если два соседних значения встречаются одинаково часто и чаще, чем любое другое значение, мода есть среднее этих двух значений. Так описывается унимодальное распределение.

Не стоит забывать, что мода не обязательно бывает одна. Моды может не быть вовсе, когда все значения встречаются одинаково часто. Либо мод может быть две и более. Такое распределение называется бимодальным или полимодальным соответственно.

Бимодальное распределение имеет на графике распределения две вершины, даже если частоты для двух вершин не равны. В последнем случае выделяют большую и меньшую моду. Во всей группе может быть и несколько локальных вершин распределения частот. Тогда выделяют наибольшую моду и локальные моды.

Бимодальное или полимодальное распределение могут рассматриваться как признак неоднородности выборки. Например, если бы в один класс целенаправленно объединили ребят из баскетбольной команды и жокеев.

Медиана

Это понятие тоже известно нам всем еще со школы. Что-то из геометрии. Вспоминаете? Так же как там, в статистике она делит значения на прямой ровно пополам. То есть слева и справа от медианы будут отложены одинаковое количество значений. При этом не важно, есть ли выбросы и симметрично ли распределение.

Выброс — экстремально малое или большое значение переменной, выбивающееся из общей картины.

Среднее значение

Опять все просто и все всё понимают. Ну не тема, а сплошное удовольствие. Среднее – это результат деления суммы всех значений на количество этих значений. Тут уже очень важна симметричность и выбросы, потому что, как все знают, средняя температура и зарплата по больнице всегда очень неплохие.

Нам интересны следующие свойства среднего:

1. Если каждое значение совокупности изменить на число n, то и среднее значение изменится на n. По сути мы просто передвинем наш график на это число n. Это же верно и для умножения.
2. Если ОДНО значение в группе увеличится на z, то среднее увеличится на z, деленное на количество значений. Это свойство показывает зависимость среднего от индивидуальных значений показателей и общего количества значений.
3. Сумма всех отклонений от среднего равна 0. Все показатели на прямой (кроме самого среднего) отличаются от среднего на +/- определенное число. И сумма всех этих положительных и отрицательных отклонений, исходя из определения среднего, равна нулю.

Зачем все это знать?

В идеальном мире вопроса о применимости той или иной меры центральной тенденции перед нами бы не стояло, потому что при идеальном симметричном распределении, унимодальности и отсутствии значимых выбросов все описанные выше меры идентичны и сходятся в одной точке.

Но мы не живем в идаельном мире, так что:

Мода чаще используется для оценки номинативных переменных, например, частоты встречаемости красных машин в потоке. В отношение количественных данных ценность моды ниже, чем ее аналогов, потому как она не позволяет оценить всю совокупность полученных данных, говоря лишь о самом частом значении. Поэтому обычно выбор стоит между средним и медианой.

Итак, среднее или медиана? В большинстве случаев ответ прост. Если вы не уверены, что распределение значений будет симметричным и у вас не будет выбросов, то используйте медиану.

Да, наиболее очевидной и самой часто используемой в быту мерой центральной тенденции является среднее значение. Но его использование ограничивается тем, что на величину среднего влияет каждое отдельное значение, а также количество всех полученных значений. Поэтому среднее весьма чувствительно к выбросам и нивелировать их способна только огромная выборка, что может быть накладно. Главное преимущество медианы в ее устойчивости к выбросам — аномально большим или малым значениям, так как при их появлении будет учитываться не значение признака, а лишь количество этих значений.

Тогда может быть использовать только медиану? Не стоит. Главное преимущество среднего — его гораздо проще объяснить. Этот термин знаком всем, а медиана зачастую пугает научностью. Также среднее бывает удобно, когда у нас мало наблюдений и учесть выбросы нам как раз важно. Например, если нас интересует средний доход членов семьи, в которой один человек зарабатывает гораздо больше других, но расходы планируются на всех в равной степени.

Ну и не стоит забывать, что среднее можно использовать как индикатор того, что перед вами не очень качественная статья или не очень честный экономист или политик.

Итоги

• К мерам центральной тенденции относятся: мода, медиана, и среднее значение.
• Мода – это самое частое встречающееся значение в описываемой совокупности. Чаще всего мода используется при описании номинативных переменных.
• Медиана — это такое число, при значении которого половина из элементов выборки больше него, а другая половина меньше. Используется в медицинской статистике чаще всего, так как устойчива к выбросам и не так требовательна к размерам выборки, как среднее.
• Среднее – это результат деления суммы всех значений на количество этих значений. Чувствительно к выбросам, и потому используется тогда, когда учет этих выбросов важен.