Билеты по курсу Случайные процессы

1. Случайный процесс. Семейство конечномерных распределений случайного процесса.
2. Моментные функции случайного процесса. Свойства корреляционной функции.
3. Нормальный случайный вектор, его характеристическая функция. Линейное преобразование нормального случайного вектора.
4. Пуассоновский случайный процесс.
5. Винеровский случайный процесс.
6. Непрерывность в среднем квадратичном. Леммы о сходимости в среднем квадратичном.
7. Сложный пуассоновский процесс.
8. Производная случайного процесса в среднем квадратичном, необходимое и достаточное условие ее существования.
9. Интеграл от случайного процесса в среднем квадратичном, необходимое и достаточное условие его существования.
10. Строгая и слабая стационарность случайного процесса.
11. Эргодичность случайного процесса по математическому ожиданию в смысле сходимости в среднем квадратичном. Необходимое и достаточное условие такой эргодичности.
12. Достаточное условие эргодичности по математическому ожиданию в смысле сходимости в среднем квадратичном.
13. Спектральное представление слабостационарного случайного процесса. Спектральная функция и спектральная плотность.
14. Процесс Леви. Представление Леви–Ито. Примеры процессов Леви.
15. Марковский случайный процесс. Дискретная марковская цепь. Переходные вероятности. Уравнение Колмогорова-Чепмена.
16. Однородность дискретной марковской цепи. Классификация состояний однородной дискретной марковской цепи. Пример цепи, в которой нулевое состояние не является несущественным.
17. Теорема «солидарности». Пример цепи с возвратными нулевыми состояниями.
18. Блочная структура матрицы переходных вероятностей в случае разложимой дискретной марковской цепи, в случае неразложимой периодической дискретной марковской цепи.
19. Асимптотическое поведение конечной однородной дискретной марковской цепи (эргодическая теорема).
20. Асимптотическое поведение однородной дискретной марковской цепи со счетным числом состояний (эргодическая теорема).
21. Введение в теорию макросистем на примере рассмотрения парадокса Эренфестов.
22. Уравнение Колмогорова–Феллера для однородной марковской цепи с непрерывным аргументом.
23. Винеровский процесс, как предел случайных блужданий.
24. Обратное уравнение Колмогорова, прямое уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка (прямое уравнение без доказательства).