Памятка участникам районного тура Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике (6-11 кл.

Когда? 15 ноября 2025года.

Олимпиада письменная, состоит из 4-5 задач. Время проведения – 3-4 часа.

Что оценивается?

По задачам требуется написать полное развернутое решение (там, где это требуется). Баллами оценивается как ответ, так и некоторые ценные соображения и продвижения по решению. Даже не доведенное до ответа решение может быть оценено некоторым количеством баллов. Правильный ответ без объяснений оценивается 0 или 1 баллом из 7, поэтому ход решения очень важен.

Какие бывают задачи?

1. Задачи «Конструктив». «Постройте», «приведите пример», «можно ли сделать» и так далее. Помните, что в такой задаче достаточно показать ответ - результат построения, пример, написать «да, можно» и показать, как именно. Объяснение того, каким именно образом Вы искали ответ, не нужно.
2. Задачи на тему «Геометрия». Это может быть равенство отрезков, площадей. Как правило, надо найти что-то общее, одинаковый кусок и, обратив внимание на дополнение, сделать выводы. Часто задачей на геометрию является задача на части (одна седьмая, каждый седьмой и т. д.), множества, круги Эйлера. В такой задаче имеет смысл нарисовать схему, в которой ввести обозначения отрезков, площадей и прочее, а также написать текст решения. (Геометрия будет, только начиная с 7 класса.)
3. Задачи на тему «Делимость». Настоятельно рекомендуем перед олимпиадой повторить и жестко знать наизусть признаки делимости.

- Слова «пара» или упоминание пар объектов, «чередуются», «последняя цифра», «оканчивается на…», «последовательные числа» намекает на то, что надо проверить четность чисел, делимость на 2, 4, 8, 16…

- Слова «последняя цифра», «оканчивается на…» также могут намекать на делимость на 5, 10. Помните, что если перемножить какое-то четное число и число, оканчивающееся на 5, то получится число, оканчивающееся нулем. Если в наборе есть хоть одно кратное 5 и хоть одно четное, то произведение набора оканчивается нулем. Если произведение набора чисел нечетное, то все множители – нечетные.

- Слова «сумма цифр» намекает на то, что имеет смысл проверить делимость на 3 и 9.

- Последовательность цифр ААББ говорит о том, что надо проверить делимость на 11.

- Сочетание цифр А00А намекает на делимость на 1001. Помните, что 1001 делится на 7, 11, 13 и является их произведением.

- Часто задача решается с использованием сочетания нескольких признаков делимости. В этом случае число делится на произведение этих делителей.

4. Задачи, решаемые «От противного». Ключевое слово: «Докажите, что…». Нужно сформулировать обратное утверждение и прийти к противоречию с условием.

5. Олимпиадная тема. Такие задачи не требуют специальных знаний вне школьной программы, но требуют принципов мышления, часто обсуждаемых в кружковой практике. Темы: «Совместная работа», «Инвариант», «Графы» и другое.

Методические рекомендации

1. Перед началом решения прочитайте условия всех задач. Они объемные, читать долго и не хочется, но тем не менее – надо. Каждую задачу читайте минимум дважды (или столько раз, сколько Вам нужно, чтобы полностью осознать условие). По ходу чтения про себя отмечайте, на какую тему каждая из задач, а по окончании чтения выберите ту задачу, ход решения которой наиболее прозрачен для Вас.
2. Не уходите раньше. Задачи рассчитаны на длительное решение. Если ничего не получается, отвлекитесь на другую задачу, потом вернитесь к этой. Рисуйте, в воображении и на бумаге, представьте себе условие задачи в виде фильма.
3. Выделяйте главные слова в условии задачи и в решении, дающие информацию: объекты, их свойства, числа и прочее.
4. Если Вы думаете, что все решили, проверьте ясность изложения. Представьте, что Вы читаете это решение в книге, или его рассказывает Ваш учитель. Вы бы поняли? А если бы Вы при этом не читали условия, то смогли бы Вы восстановить его по решению? В среднем письменное решение занимает от половины до полутора страниц тетрадного листа.
5. Решение может содержать картинки, таблицы и схемы, но должен быть поясняющий текст.
6. Если Вы решали, но не решили задачу, а время заканчивается, подумайте, может быть, у Вас есть какие-то содержательные мысли. Например, Вы не нашли ответа, но знаете, что это число четное. Или вы понимаете, что площади или куски равны между собой, или какая-то часть больше, но не нашли численного ответа. Напишите все эти соображения. За решение без ответа часто можно получить больше, чем за ответ без решения.
7. Если делают какие-то одинаковые операции с числами много раз и спрашивают, что будет в конце - попробуйте начать делать эти операции. Возможно, в какой-то момент результаты операции начнут повторяться, Вы найдёте закономерность.
8. Вообще во всех задачах, которые Вам сходу непонятно, как решать, можно и нужно посмотреть, что происходит в частных случаях. Достаточно часто это наталкивает на мысли. Однако помните, что это лишь натолкнёт на мысль, но не даст Вам решение задачи. Ведь доказательство должно быть в общем виде, а не на частных примерах.
9. Если задача на «можно ли...», сначала попытайтесь найти пример. Часто это и есть та самая «конструктивка», которая есть на любой районной олимпиаде. К тому же, если долго не будет получаться, это может натолкнуть на мысли, почему не получается, и помочь доказать, что ответ «нельзя».
10. Не бойтесь решать задачи перебором. Но и не злоупотребляйте. Если в голове есть чёткий план перебора, и он не очень большой, смело приступайте. Важно показать, почему вы перебрали все варианты.
11. При доказательстве задач «от противного» обязательно первой фразой должно быть: «Допустим <отрицание утверждения, которое просят доказать>», а последними: «Противоречие. Значит, исходное предположение неверно, а то, что просят доказать верно». Это важно!
12. Используйте арифметику остатков! Остатки при делении на любое число можно складывать, вычитать и умножать. То есть все числа в задаче можно заменить на их остатки при делении на какое-то число и производить с ними операции. Это удобно!
13. Решайте «конструктив»! Он всегда решается.
14. Когда речь идёт о делителях числа, предоставляйте числа как мешки с простыми делителями. Это помогает.
15. В задачах на оценку+пример (найдите наибольшее/наименьшее) важна как оценка, так и пример!
16. В задачах часто встречается инвариант - что-то, что не меняется, что бы мы ни делали. Часто инвариантом бывает чётность или остаток при делении на определённое число.
17. Возьмите с собой:
    -несколько ручек, цветные карандаши, линейку и все, что может пригодиться для записи решений
    -черновик
    -пустую тетрадь в клетку (12 л.)
    -воду
    -шоколадку в нешуршащей упаковке
    -ясную светлую голову, готовую решить все
    -большую мотивацию (у Вас есть те, кто верит в Вас!)

Удачи!