Закон сохранения заряда и последнее уравнение Максвелла

Последнее уравнение Максвелла — обобщение обычного закона полных токов Ампера, который гласит, что магнитное поле создаётся суммой всех токов, текущих в проводнике. Казалось бы, что может быть тривиальнее этого предположения? Оно настолько понятно, что ничто не заставляет в нём усомниться, но именно это в первую очередь и стоит сделать. Давайте же вместе разберёмся, что к чему)

Мне хотелось бы начать с уравнения, пришедшего далеко не с электродинамики, но ушедшего столь далеко, что оно пронизывает через себя всю физику (во сказанул…). Если можно так выразиться, то это математически всеобъемлющее и общее уравнение, но полностью физически понятное — уравнение неразрывности. Уравнение неразрывности — это математическая форма следующего утверждения: что-то может изменяться во времени, только, если оно убывает или прибывает. Это логично, ведь объём воды в сосуде может изменяться, если вода в него втекает или вытекает; толпа на Петроградской образуется только если из вагонов выходит слишком много народу (Господи, как же жизненно…); заряд на теле изменяется только тогда, когда мы его туда привносим или забираем. Даже в квантовой механике действует это утверждение, но несколько более изощрённым образом. Мы с вами люди умные, поэтому теперь легко сможем записать это уравнение даже без строгого вывода. Если что-то изменяется во времени, то это изменение можно характеризовать её производной по времени. Наверно всякую систему можно характеризовать её плотностью, будь это плотность массы, плотность заряда (плотность… вероятности?). Ну, а прибытие или убытие чего-либо естественно характеризовать потоком. Мы помним ещё с прошлого раза, что такое поток, и что на самом деле поток сильно связан с дивергенцией. Итак, что-то меняется, только если есть поток (дивергенция), а значит производная по времени от плотности должна равняться дивергенции потока:

Его пишут в таком виде. Тут плюс лишь потому, что по определению поток рассматривают из тела, а если он из тела, то плотность уменьшается, а значит производная отрицательна (ничё непонятно, но вы подумайте, почему это так). Применительно к нам — это плотность заряда и плотность тока.

Так вот. Я надеюсь, что вас повергнет в шок и дикий ужас моё утверждение о том, что закон Ампера (абсолютно понятный и логичный) ни в коем образе не соответствует уравнению неразрывности (тоже понятному и логичному).

Запишем сначала наше уравнение Максвелла:

Давайте попытаемся взять от этого выражения дивергенцию (чтобы найти дивергенцию потока):

Нулю это всё равно, т. к. мы видим смешанное произведение с двумя одинаковыми векторами. Если циклически попереставлять векторы, то можно добиться того, что внутри останутся чисто наблы, а вектор, векторно умноженный сам на себя — это тождественный ноль. А должен быть не ноль…

Чего-то не хватает… Чего-то, чья дивергенция даст нам производную по времени от плотности заряда… И знаете, мы уже знаем, что это. Вспомним первое уравнение Максвелла, что дивергенция D есть плотность заряда. Наверно, дивергенция от производной D даст производную от плотности заряда!

Новое слагаемое назвали током смещения, и в этом слагаемом кроится большая часть причин, почему уравнения Максвелла назвали его именем (другая — это что сложно говорить каждый раз «Уравнения Гаусса, Фарадея и Ампера»).

Океюшки, вот мы получили непонятно что, и назвали это каким-то током. Но, а что это значит? Как этот ваш ток смещения можно увидеть, потрогать или засечь? Это весьма тонкий вопрос. Раньше под током мы понимали движение зарядов. Зарядики движутся, создают ток, этот ток создаёт магнитное поле, круто. Теперь мы вынуждены отречься от тока, как движения зарядов. Ток — это любое изменение электрического поля. Переменное электрическое поле тоже может порождать магнитное поле, хоть там старым током и не пахнет. Именно в этом заключается прикол конденсатора. Допустим, что ток течёт по проводу, ок. Он создаёт вокруг себя магнитное поле. А затем врезается в обкладку конденсатора и не может дальше пройти, но вот поле от него вполне себе образуется. Внутри конденсатора нет тока, но постепенно нарастающее электрическое поле создаёт такие же магнитные поля, как и ток в проводе. Теперь даже становится ясно, почему сопротивление конденсатора тем меньше, чем больше частота. Когда колебания тока медленные, поле изменяется и создаёт слабенькие магнитные поля, что соответствует лишь маленьким потерям тока. А на больших частотах колебания поля столь велики, что создают магнитное поле, не отличимое от того, что создаёт ток в проводах, а значит на деле кондёр — не больше чем КЗ!

У кого-то сейчас, возможно, мир с ног на голову перевернулся, а кто-то может и не понял прикола происходящего, задав резонный вопрос: «Ну подумаешь, поля-шмоля, вот в лампочку электроны прибегают, и она светит, а как может светить то, куда электроны не прибегают?» И это верно. В нас (во мне до некоторой поры) есть чёткое убеждение, что электроприборы работают, если в них вкачивать электроны. В быту это так и есть: чайник закипает, потому что электроны вкачиваются в нагревательный элемент и расшатывают кристаллическую решётку; лампочка светит, потому что мы тоже в неё вкачиваем электроны, которые нагревают нить; люминесцентные лампы светят, потому что мы в них вкачиваем электроны, чтобы ударить ими пары ртути. Ух, блин! И после этого я тут чё-то про поля задвигаю. Но на деле, любую цепь надо рассматривать с точки зрения энергии. В конце концов, мы всегда можем пошевелить электронами в одном месте, чтобы другие электроны пошевелились в другом. Раз на одной обкладке они пошевелились, потому что на другой подвигались другие электроны, не лучше ли думать, что как будто бы ток пробежал?

Очень скоро мы поймём, что эти неосязаемые и невидимые поля несут в себе очень ощутимую энергию. Она будет характеризоваться вектором Умова-Пойтинга, а в него входят как электрические, так и магнитные поля. Энергия в цепи — это не потому, что электроны с одного места в другое попали, а потому, что поля изменились! (Я верю, что это попадёт в список цитат великих людей).

Что ж, на сегодня это всё. Опасайтесь СВЧ и не болейте)