Закон Ома и токи в легированных полупроводниках

Напоследок мы получим несколько полезных соотношений для токов в полупроводниках. Самое главное из них — это, конечно же, закон Ома. Закон Ома в веществе возникает из-за процессов релаксации. Электрон, двигаясь в материале, испытывает постоянные рассеяния в самом грубом приближении на атомах кристаллической решётки. С каждым новым соударением он приобретает новый импульс. Соответственно можно ввести понятие длины свободного пробега электрона λ. Если мы не прикладываем внешнего напряжения, электроны, тем не менее, всё равно испытывают рассеяние ввиду наличия у них тепловой скорости u, которую можно оценить, считая электроны идеальным газом:

Тогда можно ввести время релаксации импульса как время, за которое электрон пролетает длину свободного пробега:

Далее для вывода закона Ома можно пойти двумя путями: рассматривать усреднение скорости электрона с учётом длины свободного пробега или же записать II закон Ньютона с тем же уточнением. Тогда мы должны добавить некоторую эффективную силу, учитывающую рассеяние электронов:

Решая данный диффур, получим:

Начальную скорость можно определить из ЗСЭ:

На рис. 1 приведён график зависимости скорости электрона от времени:

Сразу становится ясно, что скорость электрона в первые моменты не постоянна — наблюдается переходный режим. Время этого режима порядка 10^(-13) с. Однако же, рассматривая электроны лишь на вменяемых промежутках времени, можно пренебречь экспоненциальным слагаемым и сказать, что скорость постоянна:

Тогда плотность тока:

Плотность тока на больших промежутках времени зависит только от напряжённости поля. В этом заключается смысл закона Ома. Величина, стоящая перед напряжённостью, называется удельной проводимостью. Величина, обратная удельной проводимости — удельное сопротивление. Можно, однако, заметить, что от напряжённости поля зависит и скорость:

Величину, стоящую перед напряжённостью в данном случае, называют подвижностью [м / В*с]. Тогда закон Ома можно написать и в таком виде:

Это что касается металлов. В п/п есть электроны и дырки, поэтому ток будет слагаться из дырочной и электронной компонент:

Знак направления каждой из компонент тут учитывается в подвижности. Ток, возникающий под действием внешнего поля называют дрейфовым. В дрейфовый ток входят электронная и дырочная подвижности. Не стоит думать, что они постоянны при всех значениях напряжённости. В материалах наблюдается эффект насыщения скорости — при некоторой критической напряжённости скорость электронов и дырок выходит на плато и подвижность становится функцией напряжённости. Данный эффект связан с новым временем — временем релаксации энергии. При высоких скоростях электронов они начинают чувствовать сильное взаимодействие с ядрами ионов и их электронными оболочками — возникает нечто, подобное вязкому трению
F = ηv. За время релаксации энергии электрон успевает всю набранную энергию передать электронной подсистеме ядер, а та и самим ядрам — п/п начнёт сильно нагреваться. Скорость насыщения в п/п составляет порядка 10^5 м/с. Тогда:

Поэтому для п/п строят очень полезную поле-скоростную характеристику, приведённую на рис. 2.

На поле-скоростной характеристике некоторых материалов состава A(III)B(IV) (вроде GaAs) наблюдается очень интересный спад — при увеличении напряженности скорость падает! На данном участке наблюдается отрицательная дифференциальная подвижность:

Почему так происходит — это отдельная и интересная тема, которую нам ещё предстоит обсудить. Пока скажу, что это может быть связано с лавинной генерацией или междолинным переносом. На приборах, у которых наблюдается отрицательная дифференциальная проводимость, можно строить усилители и генераторы. Такими приборами являются туннельный диод, диод Ганна, лавинно-пролётный диод.

Методы измерения проводимости (а с ней и подвижности)

Метод Ван-дер-Пау

Конечно, чтобы знать, подойдёт тот или иной материал для наших целей, нужно у них что-то измерить. Проще всего измеряется сопротивление/проводимость, а затем по приведённым выше соотношениям рассчитывается подвижность. Первый метод — это метод четырёх зондов (метод Ван-дер-Пау). В п/п втыкаются два зонда (внешние), через которые пускается ток, а два других зонда (внутренние) измеряют падение напряжения на промежутке (рис. 3):

Так находится сопротивление квадрата, а через него удельное сопротивление:

Эффект Холла

Также для измерения проводимости используется очень занимательный эффект, о котором стоит поговорить подробнее — эффект Холла. Пустим через п/п ток и поместим его во внешнее магнитное поле. В этом случае по закону Лоренца электроны скопятся у одной обкладки, а дырки у другой, в результате чего наведётся холловская разность потенциалов.

Итак, пусть мы пускаем ток I через полупроводник в направлении оси Ox. Магнитное поле B направлено вдоль оси Oz. Тогда по оси Oy возникнет напряжение E, и можно написать III закон Ньютона:

Откуда:

Напряжение:

Холловское напряжение мы можем измерить, а значит:

Для удобства вводят понятие коэффициента Холла:

Где

Фактор Холла.

Фактор Холла для рассеяния на фононных колебаниях решётки равен 1,17, а на ионах примеси 1,95. Также вводят холловскую подвижность:

Неравновесные состояния

До сих пор мы рассматривали равновесные состояния, когда заряды возникали в самом полупроводнике. Однако же во всех приборах заряды в п/п поставляются извне и затем туда же и уходят. Например в диодах заряды из n-области поставляются в p-область, также и в транзисторах. Из-за этого перестаёт выполняться закон действующих масс и уравнение электронейтральности. Процесс ввода зарядов в п/п называют инжекцией. При инжекции концентрация электронов и дырок становится больше собственной:

Процесс вывода зарядов из п/п называют экстракцией. В данном случае собственная концентрация носителей превышает концентрацию электронов и дырок:

Также, раз в п/п появляются нескомпенсированные носители, возникает внутреннее поле, подчиняющееся, как известно, I уравнению Максвелла (то, что про дивергенцию E):

Из-за того, что теперь в п/п возникли новые заряды, появляются дополнительные компоненты тока. Из-за неравномерного распределения носителей возникают процессы диффузии — появляется диффузионный ток:

Возникает тогда последний на сегодня вопрос — а как найти коэффициент диффузии? По определению коэффициент диффузии — это кол-во электронов, прошедшее через единицу площади за единицу времени:

Можно написать также энергию через электронную температуру:

Тогда:

Коэффициент диффузии зависит от подвижности — довольно занимательно. Данное соотношение называют соотношением Эйнштейна. Тогда, наконец, полный ток:

Наконец мы получили все соотношения, чтобы рассмотреть неравновесные токи в п/п, но об этом в следующий раз, а пока всем удачки)