Вкратце про уравнения Максвелла

Есть в физике одно очень перспективное направление, сочетающее в себе как инженерные дела, так и сугубо теоретические — это СВЧ-электроника. Приборы сверхвысокой частоты на сегодняшний день заполонили всё: это микроволновки, сотовая связь, интернет, радиолокации, спутниковое телевидение и ещё куча-куча всего. Так случилось, что это дело мы плотненько изучили и я ничего не понял ((( Но чем-то это меня зацепило, поэтому я решил немного поделиться своими рассуждениями по этому поводу)

Говоря про заряды, мы чаще всего используем такие понятия как ток и напряжение. В розетке находится переменное напряжение, амплитудой 220V, колеблющееся с частотой в 50Hz. Оно создаёт в некотором приборе определённый по закону Ома ток, тоже частотой в 50Hz. В общем-то всё логично. Понятие тока и напряжения для малых частот очень даже применимо в виду того, что за время одного колебания электронный поток проходит внушительные расстояния. Но если время колебания будет столь малым, что электрон будет фактически колебаться на месте, ни о каком токе или напряжении речи быть и не может! Так ведь? Ну тут с какой стороны посмотреть. Если мы заставим колебаться электроны в цепи с частотой в 5 ГГц, а потом воткнём в неё амперметр, он нам покажет честный 0. Но если мы поставим рядом с цепью приёмник, то он зарегистрирует энергию. Это наводит нас на мысль о том, что не ток и напряжение главные, а поля. Именно сочетания полей, возникающие в результате колебания электронов, передают энергию и их нам придётся поизучать)

Но откуда берутся эти ваши поля? Ещё со школы мы знаем, что статические заряды создают вокруг себя постоянное электрическое поле напряжённости E. Определяется это поле прямиком из закона Кулона. Это всё весьма тривиально. Нетривиально то, что закон Кулона не наиболее общий закон — это частный случай первого уравнения Максвелла. Давайте проследим за тем, как первое уравнение максвелла возникает из закона Кулона)

Нам для этого понадобится понятие потока вектора через поверхность. Пусть мы имеем какое-нибудь распределение поля напряжённости. Давайте где-то в пространстве выберем столь малую площадочку dS, что в её пределах поле будет однородным. Тогда если мы узнаем, сколько векторов пронизывает данную площадочку, мы практически поймём, что такое поток.

На самом деле это не совсем так, и понятие потока — немного более абстрактное понятие, но нас это не должно смущать. Давайте выберем нормальный (ортогональный) единичный вектор к нашей площадочке. Ясно, что он будет составлять с полем некоторый угол α. Потоком мы будем тогда называть величину, равную произведению модуля поля на площадь и косинус угла:

В общем-то можно заметить, что из-за косинуса это весьма схоже со скалярным произведением. И действительно, этот косинус можно запихать в скалярное произведение поля на нормальный вектор. А ещё можно ввести вектор площади как вектор, нормальный к площадочке и равный по величине площади: dS = ndS. Тогда всё выглядит Совсем уж не сложно (хотя во многом и непонятно…). Коли нас интересует полный поток, мы должны взять интеграл по всей площадке:

Ну а если площадка замкнута, то в четь этого мы на интеграле нарисуем кружок)

С точки зрения математики это поверхностный интеграл II рода и считать такие интегралы — это отдельное наказание на 8 кругу Ада. Но благо нам не придётся такое считать — это лишь вспомогательная функция для дальнейших действий)

Хотя разок простенький поток мы посчитаем. Возьмём заряд dq и окружим его сферой. Т. к. радиус перпендикулярен касательной плоскости, то поток можно посчитать без всяких заморочек прямо из закона Кулона:

Ништяк, поток не зависит от расстояния) Ну в честь этого можно посчитать поток через произвольную поверхность. В общем-то тогда у нас появится нехороший косинус. Его можно интерпретировать двумя способами: что мы смотрим проекцию поля на нормаль или что мы поворачиваем саму площадочку так, что она будет перпендикулярна полю (я попытался нарисовать это фиолетовым цветом). Тогда такая площадочка будет соответствовать сферической площадочке: dS(сф) = dS*cos α. Тогда поток можно посчитать так:

Далее нам поможет понятие телесного угла. Телесный угол определяется как отношение площади сферической площадочки к квадрату расстояния:
dΩ = dS(сф) / r². Тогда можно преспокойно переписать наш поток:

Интеграл берётся по всему телесному углу. Полный телесный угол равен 4π, а значит мы приходим к выводу, что поток через любую замкнутую поверхность равняется 4πkdq, а если проинтегрируем по заряду, то получим:

В этом заключается сущность теоремы Гаусса. Теперь, простите за тавтологию, к теореме Гаусса надо применить теорему Остроградского-Гаусса, гласящую, что от интеграла по замкнутой поверхности можно перейти к интегралу по объёму от дивергенции:

Это есть первое уравнение Максвелла! О нём часто говорят как о законе существования электрических зарядов, мол, поток может создаваться только ими. Наверно и мы так поступим: поток вектора электрического поля может создаваться только электрическими зарядами!

На этом месте я мог бы очень ловко перескочить ко второму уравнению Максвелла, сказав, что оно постулирует отсутствие магнитных зарядов, но это было бы не честно. Давайте-ка лучше вот как подумаем. Мы магнитное поле задавали в школе через силу Лоренца, причём так, что магнитное поле входило туда как векторное произведение. Такие поля, как магнитное, называют вихревыми. Это значит, что линии такого поля могут замкнуться только на себе, а значит какую бы мы ни взяли поверхность, линия поля либо не пересечёт поверхность, либо пересечёт чётное кол-во раз так, что в итоге поток будет равен 0. В честь этого пишем:

Это второе уравнение Максвелла.

Третье уравнение Максвелла представляет собой обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея. Давайте проследим за тем, откуда оно появляется. Представим для этого некоторую область с однородным магнитным полем и витком из проводящего материала. Пока виток покоится, там ничего не происходит, но как только мы начнём деформировать его (изменять его в магнитном поле) на заряды внутри него начнёт действовать сила Лоренца, и в витке потечёт ток. Представим, что мы растягиваем виток с некоторой постоянной скоростью v.

Напишем силу Лоренца:

Можно сделать небольшой финт ушами, домножв и поделив выражение на dt:

Можно посчитать работу, если умножить эту силу на маленький элемент длины dl, ведь именно вдоль него сила и двигает зарядик:

Мы тут произвели циклическую перестановку по ходу дела. В данном случае мы получили произведение перемещения на элемент длины, а это есть площадь. Стоит только учесть, что мы выбираем площадь так, чтобы вектор нормали смотрел вверх, а в этом случае он будет смотреть вниз, поэтому должен вылезти знак -:

Поделив на заряд и увидев в произведении BdS магнитный поток, легко приходим к закону Фарадея)

Нам остаётся лишь ЭДС как циркуляцию (вводится также, как и поток, но вместо площади — длина траектории (можно в циркуляции увидеть работу, если вспомнить, что dA = Fdl. Как мы помним, напряжение — это работа по перемещению заряда, отнесённая к величине заряда, или циркуляция электрического поля)), а поток через интеграл:

Теперь надо приметить теорему Стокса, перейдя от интеграла по траектории к интегралу по поверхности:

О том, что такое ротор, можно посмотреть тут.

Ну и последнее уравнение Максвелла — это обобщение закона полных токов Ампера. Всякое магнитное поле будет определяться суммой всех текущих токов. В формулировке Ампера это выглядело так:

По аналогии с предыдущим можно было бы написать нечто эдакое:

И мы окажемся не совсем правыми. В действительности пока что мы упускаем нечто весьма и весьма важное, но об этом мне бы хотелось подробнее поговорить чуть-чуть попозже.

Взаимодействие полей с веществом — это отдельная и довольно интересная тема, которую не уместить в маленькой статье. Поэтому буквально тезисно скажу, что есть ещё поля D и H, связанные с полями E и B материальными соотношениями:

Через них мы впредь и будем писать уравнения Максвелла, причём удобнее их писать в системе СГС, нежели в СИ. В итоге мы имеем в постулатах 4 уравнения:

В законе Ампера (последнее уравнение) появилось некоторое интересное слагаемое. Оно взялось там не просто так и именно в нём заключена заслуга Максвелла. Об этом слагаемом мы подробно поговорим в следующий раз, а пока удачки)