Оптимально ли применение индивидуальных образовательных программ в математике и предметах на ней основанных
В моем тексте «Будем ли устранять свои баги, и как учить специалистов по ИИ?» (https://d-russia.ru/budem-li-ustranjat-svoi-bagi-i-kak-uchit-specialistov-po-ii.html) есть, в частности, такой фрагмент, который несмотря на размеры повторю.
Теперь о любимых многими индивидуальных образовательных программах (траекториях). Приведу авторитетные мнения по этому вопросу.
1. Вот мнение выдающегося математика академика РАН, лауреата Филдсовской премии Сергея Петровича Новикова (https://ru.wikipedia.org/wiki/Новиков,_Сергей_Петрович_(математик)). Это мнение он изложил в статье «Произошел распад обязательного знания» (http://kommersant.ru/doc/3169063), в которой есть такие слова: «Причина упадка в математике в том, что изменился подход к обучению: к этой науке стали относиться как к гуманитарной. В математике Вы должны выучить определенный набор дисциплин, без которых в этой сфере невозможно работать в принципе. И тем не менее на Западе в какой-то момент пошли по пути подражания гуманитарным наукам – предоставили студентам самим выбирать те или иные курсы. Парадокс!
Гуманитарные науки в целом – это, так сказать, мелкое море: основная трудность – в масштабе. Это море знаний огромное, но ты можешь постигать его по частям, а в математике нужно сразу идти в глубину, здесь другое понятие сложности. Математика построена по принципу пирамиды, где предыдущие этажи являются основой для следующих. Так что упадок нынешнего уровня науки во многом объясняется тем, что произошел распад обязательного знания.
Для того, чтобы стать математиком, нужно всерьез много чего выучить, а нынешнее поколение это не устраивает: наука должна доставлять удовольствие, считают они. Это, без сомнения: должна, но удовольствие не отменяет трудностей. Математику, как и теоретическую физику, учить трудно. Вот это современные молодые люди делать не хотят».
«Видимо, именно по этой причине американские профессора часто стараются брать в аспиранты молодых людей из ведущих российских университетов, так как их выпускники, например, обязательно изучали математическую статистику (она для научной работы часто требуется), а в Америке многие студенты ее не брали. Методически преподавание в лучших российских вузах существенно отличается от принятого в Америке, так как наше образование формировало у студентов единую математическую картину мира, а у них – лишь отдельные ее фрагменты» (https://d-russia.ru/koe-chto-ob-obrazovanii.html). Однако введение индивидуальных образовательных траекторий в наших университетах может устранить указанное преимущество.
2. Теперь мнение (http://ancb.ru/publication/read/4086) ректора «Сколтеха» академика РАН Александра Петровича Кулешова «При бесплатном образовании далеко не всегда удается внедрить технологии обучения, используемые в ведущих зарубежных вузах. Нам удалось привлечь в «Сколтех» очень квалифицированных специалистов с Запада. Мы решили выпускать по 100 человек в год, но в России своя специфика. Хотели быть маленькой копией МТИ. Лучшие мировые практики собирались внедрять без изменения на нашей почве, но опыт показал, что это не так просто. Вскрылась одна забавная проблема. В США, в том числе в МТИ, студент сам выбирает, чему ему учиться, из собственных соображений. Ту же систему перенесли на российскую почву, а она здесь работать не стала. Почему? На этот счет есть теория. Годовой курс в МТИ, одном из лучших вузов мира, стоит 50 тысяч долларов. Иногда их вносят родители студента, иногда футбольная команда, иногда сам МТИ платит за обучение, но это всегда живые деньги, и у обучающегося этот факт прошит в мозгах. За него платят, и это его единственный шанс в жизни. Поэтому он рвет знания «челюстями», а наши студенты учатся бесплатно, да еще и получают стипендию. И предметы они выбирают, какие попроще. Так что американскую систему обучения нам в России пришлось менять».
3. А теперь о выступлении топ-менеджера из компании JetBrains Андрея Владимировича Иванова (https://www.jetbrains.com/ru-ru/lp/annualreport-2020/). Сначала он, как говорят сейчас многие молодые люди, «топил» за индивидуальные образовательные программ для студентов, а потом неожиданно сказал, что значительное их число может понять, чем они хотят заниматься, только после завершения обучения, да и то не всегда. Тогда как и что они могут выбирать в процессе обучения, тем более в таком юном возрасте, ведь это не фигурное катание и не скрипка? Андрей Владимирович не одинок среди тех, кто «топит» за индивидуальные образовательные траектории, но при этом считает, что «далеко не всем студентам и вузам такие траектории показаны» (https://news.myseldon.com/ru/news/index/275745569?requestId=5d9bd3f9-60c0-4103-937a-fafc5639bed9).
4. Оказывается, что «в соответствии с ФГОСом у нас в школах может проводиться обучение в идеологии системно-деятельностного подхода – с приматом деятельности над знаниями, умениями и навыками, с выбором учащимися собственной траектории обучения в соответствии с запросами и желаниями ещё не развитой личности. Нам навязывают оценку результатов обучения, построенную на самооценке личности, которая так и не сможет развиться, так как такая система обучения потакает лени, списыванию, уклонению от изучения сложных вопросов под предлогом «а как это пригодится мне в жизни?» или «мне это не интересно» (Александр Владимирович Шевкин, преподаватель математики, https://zen.yandex.ru/media/shevkin/monolog-jertvy-variativnogo-obucheniia-po-fgosu-61b0c424342ef8632dc5f9ee).
5. Известный отечественный филолог Михаил Леонович Гаспаров (https://ru.wikipedia.org/wiki/Записи_и_выписки) написал, что в 1926 г. на факультете общественных наук университета изучали все на свете, в том числе узбекский язык и артиллерию. С тех пор прогресс не останавливался ни на секунду, и вместо обязательных эти предметы могли стать … предметами по выбору в индивидуальных образовательных траекториях, что уже давно характерно для некоторых даже весьма престижных американских университетов. А вот мнение Гаспарова о подобном прогрессе: «В младших классах меня били, в старших не били, поэтому я и уверовал в прогресс».
6. «Человек должен определить свое место в пространстве знаний. Это может позволить ему понять, какие зияющие пустоты он оставляет, выбирая для себя «интересное» (Анатолий Альбертович Шперх, https://vogazeta.ru/articles/writers/22).
Теперь несколько соображений по этому поводу, которые базируются на моем образовании и научных интересах.
1. Высказывание Шперха похоже на автоматное управление – сначала надо определить в какой точке пространства состояний процесс находится и только потом, в зависимости от значений входов, действовать (http://is.ifmo.ru/books/switch/1). Каждый человек, особенно молодой, обычно считает, что он знает «где» он находится, и поэтому считает, что знает, какие предметы для изучения ему выбирать.
2. Но тут мне на ум приходят возможные две стратегии в логическом синтезе (http://is.ifmo.ru/books/log_upr/1). Первая называется «синтезом от входов к выходу», а вторая – наоборот: «от выхода к входам».
Первая стратегия – проще: ты видишь формулу (цель) и подбираешь элементы (предметы) так, чтобы реализовать ее, однако, если элементы сложны, эффективный синтез при такой стратегии практически невозможен.
Более сложной, но и более эффективной, является вторая стратегия, при использовании которой на каждом шаге осуществляется декомпозиция формулы на подформулы, проводимая в базисе используемого на этом шаге элемента. Самым важным здесь является то, эти подформулы должны быть не такими, которые Вам нравятся, а те, которые строго определяются реализуемой формулой и формулой, описывающей элемент, используемый на этом шаге!
Вторая стратегия применительно к рассматриваемой проблеме может быть интерпретирована так: однозначно определяется цель, которую требуется достичь в процессе обучения, выбирается предмет, который приводит именно к этой цели, после этого определяются предметы, которые необходимо изучить, чтобы понять предмет, который приводит к цели, и т. д. Таким образом, как отмечено выше, в отличие от гуманитарных наук, в математике, как и в основанных на ней науках, без четко определенной цели никакой осмысленный выбор предметов, обеспечивающих ее достижение, практически невозможно.
3. И еще в подтверждение сказанного. Среди предметов, которое я в свое время учил в вузе, было динамическое программирование по Беллману (https://ru.wikipedia.org/wiki/Динамическое_программирование). В нем, как и в логическом синтезе, возможны два подхода:
3.1. «Нисходящее динамическое программирование: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, они решаются и затем комбинируются для решения исходной задачи. Используется запоминание для решений уже решенных подзадач».
3.2. «Восходящее динамическое программирование: все подзадачи, которые впоследствии понадобятся для решения исходной задачи, просчитываются заранее и затем используются для построения решения исходной задачи. Этот способ лучше нисходящего программирования в смысле размера необходимого стека и числа вызова функций, но иногда бывает нелегко заранее выяснить, решение каких подзадач нам потребуется в дальнейшем».
Именно, в том, что «нелегко заранее выяснить, решение каких подзадач нам потребуется в дальнейшем», причем не иногда, а практически всегда, у меня на более, чем на 50 лет в голове застряла мысль, что оптимальное решение задачи обычно достигается при декомпозиции задачи, начиная от цели, а не наоборот.
4. В последнем вопросе я школяр, так как на практике динамическое программирование не применял, и поэтому обратился за мнению по обсуждаемому вопросу к чемпиону мира 2009 г. по спортивному программированию Максиму Буздалову, который в свое время «собаку съел» в применении динамического программирования (ДП) для решении алгоритмических задач (https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Динамическое_программирование).
5. Вот, что мне ответил Максим: «На самом деле есть два аспекта, по которому можно разделять ДП на восходящее и нисходящее. Более традиционный аспект состоит в том, что формула вычисления ответа для подзадачи остается неизменной, что-нибудь вроде A(x) = f(A(x1), A(x2), ..., A(xn)), и меняется лишь порядок вычислений: при восходящем ДП неизбежно будут вычислены ответы для всех возможных «иксов», при нисходящем ДП – это совсем необязательно (но средние вычислительные затраты на одну подзадачу будут побольше из-за рекурсивных вызовов).
На практике «ленивые вычисления», характерные для нисходящего ДП, могут существенно сократить время решения задачи, особенно если «иксы» многомерные, а подзадач в разбиении мало. Еще один факт, о котором задумываются не очень часто, состоит в том, что не все подзадачи одинаково интересны, и иногда некоторые из них можно вообще не пытаться решать (если, например, мы объединяем ответы на подзадачи логическим «ИЛИ», то лишь одного ответа «да» на подзадачу достаточно, и на остальных можно сэкономить). В образовании, правда, в подобных случаях чаще бывает логическое «И» и неутешительные выводы о собственных способностях...
Чуть менее известный аспект состоит в следующем. В некоторых случаях, в отличие от классического описания ДП, выгоднее, решив подзадачу, взять получившийся ответ и сразу же раздать его подзадачам большего размера, интересующимся этой подзадачей – это тоже можно назвать «восходящим ДП», только в другом смысле. Для определенности будем называть этот вариант решения задачи «восходящим восходящим ДП». Однако так можно делать только в случае восходящего ДП в исходном смысле, ведь мы не можем предсказать, какая из этих больших подзадач в итоге кому-нибудь пригодится, поэтому делимся ответом со всеми. В том случае, когда ответы на подзадачу объединяются достаточно простым способом (например, f – это сумма, максимум или еще что-нибудь простое), фундаментальной разницы нет, и конкретный способ реализации выбирается исходя из того, что проще/быстрее перебирать: подзадачи, которые нужны нам, или которым нужны мы.
В некоторых случаях, характерных для так называемого ДП «по ломаному профилю» (https://informatics.msk.ru/mod/book/view.php?id=290&chapterid=78), «восходящее восходящее ДП» может быть асимптотически эффективнее. Однако, например, в некоторых задачах, решаемых ДП по дереву – таких как поиск максимального паросочетания в дереве – даже части результата невозможно получить без знания решений остальных подзадач, и такое «восходящее восходящее ДП» сталкивается с труднопреодолимыми проблемами (например, резким увеличением нужного объема памяти) и быстро становится неэффективным.
Если кратко, то восходящее ДП, без знания конкретной цели, соответствует сценарию «это мне когда-нибудь пригодится». Управление таким сценарием не требует интеллектуальных затрат ни от учащегося, ни от университета, но для подготовки качественного специалиста потребовалось бы, пожалуй, минимум утроить объем образовательных программ и время их освоения, чтобы не пропустить нужное.
Нисходящее ДП может вернуть время, требуемое для получения образования, в разумные рамки, но для этого нужно знать конкретную цель».
6. На этом я заканчиваю и жду обоснования того, в чем «мы все» неправы…
P.S. 1. Андрей Владимирович Иванов «лайкнул» этот текст.
2. Кстати, когда у нас учился гениальный Геннадий Короткевич индивидуальных образовательных траекторий еще не было, но индивидуальные учебные планы были всегда, но Гена никогда о них даже вспоминал…
3. Если цель обучение не зарабатывание денег любым способом, а конкретная – стать, например, высококлассным «системным администратором», то становится однозначно ясно, чему учить...
4. А вот пожелание, полученное в ответ на эту статью от Народного учителя РФ Сергея Евгеньевича Рукшина: «С наступающим Новым годом! Здоровья – ибо без него мы обречены на прозябание в профессии, а наши ученики – на сиротство».
5. А вот до чего мы, в частности, допрыгались разговорами об индивидуальных образовательных траекториях: «У меня сейчас есть группа на втором курсе, которой я рассказываю дифференциальные уравнения и терплю педагогический крах. Потому что они позиционируют себя как программисты и ничего не хотят знать про «непрерывную математику». Все мои примеры, в том числе из школьной физики, натыкаются на стену неприятия. «Мы это давно забыли, но нам это и не нужно» Это для меня настоящий вызов. Я думал, что могу всяких студентов заинтересовать. Ан нет» (Из письма преподавателя одного из ведущих вузов страны). Студенту дифференциальные уравнения, возможно, и не нужны, а можно ли без них человека считать специалистом? И откуда они знают, что им в жизни понадобится?
6. А вот, что написал по поводу описанной выше ситуации Алексей Захаров (выпускник кафедры 2003 г.). «Анатолий Абрамович, ясно, что надо сказать, если такие студенты появятся на нашей кафедре: «Знайте, что многие работодатели знают: что кафедра КТ – это знак качества. Это гарантия уровня специалиста. При этом скажу вам по секрету, что курсы по Python, Java и C++ в других готовящих программистов местах могут быть ненамного хуже, а вот функана в этих других местах нет, и матана, диффуров и теорвера на уровне матмеха в других местах нет тоже. При этом скажу вам по секрету, что курсы по Python, Java и C++ в других готовящих программистов местах могут быть ненамного хуже, а вот функана в этих других местах нет, и матана, диффуров и теорвера на уровне матмеха в других местах нет тоже. Считаю, что есть прямая связь между тем, что у нас есть функан и университетский уровень остальной математики, и тем, что наш выпускник гарантированно высокого качества (даже если 99% из них непосредственно в работе диффуры не нужны). Поэтому их надо сохранять в программе. . А тех двух человек из группы, которые не поймут и все равно забьют на учебу, после не сданного экзамена выгнать, наплевав на «деньги, идущие за студентом» для того, чтобы сохранить репутацию кафедры (теперь факультета), что намного важнее. «Индивидуальная траектория» должна быть про предметы, не влияющие на это. Не вижу проблемы (кроме двойных расходов на преподавание), если у половины группы будут, условно говоря, нейронные сети, а у другой в это время компьютерная графика, так как не эти предметы, мне кажется, гарантируют высокое качество выпускника КТ, и пусть только на индивидуальной траектории каждый займется тем, что ему ближе. А те предметы, которые обязательны для того, чтобы не было стыдно за своих выпускников, а на других специальностях, чтобы не страшно было у такого врача лечиться, жить в построенном таким инженером доме и такому учителю доверять ребенка, конечно, не могут быть необязательными». После этого он добавил, что указанные выше предметы не то, чтобы ему особенно нужны по жизни, но они сформировали в нем инженерную культуру, а главное обеспечили тяжелую многолетнюю тренировку мозга.
Я полностью согласился в Алексеем, который сейчас является начальником департамента в одной из «высокоинтеллектуальных» компаний, но отметил, что, приняв его предложение, отчислять, скорее всего, придется далеко не двоих.
7. Сказанное по смыслу совпадает с тем, что мне не однажды говорил наш выдающийся выпускник 2011 г. Максим Буздалов: «Мне никогда не было стыдно, что закончил ИТМО, так у нас в программе был функциональный анализ и теория функций комплексной переменной, а также матфизика, матлогика, физика и много чего еще «вправляющего» мозг, что отличало нас от многих образовательных шараг». Без указанных знаний человек может быть специалистом в некоторой области, но инженером, к сожалению, быть не может...
«Сейчас побеждает простота в самом примитивном значении этого слова» (И. Ясина). Тенденция к отказу от сложности характерна сегодня для всего мира, поэтому его, бывает, называют и так: «мир ликующей простоты и гопоты!».
8. Сказанное Алексеем и Максимом сейчас не поддерживается практически никем: ни обществом, ни студентами, ни работодателями, ни даже классными преподавателями, которые рассказывают мне, что в сутках оказывается всего 24 часа, а за последние годы появилось много новых предметов, таких как, например, … Soft skills. Это, конечно, так, особенно если учесть, что студенты чуть ли не с первого курса хотят работать до сорока часов в неделю, причем в основном не на кафедре… Это подтвердил мне и Алексей, который недавно общался с первокурсницей, которая хорошо соображала, но мало что знала, но хотела стажироваться (другими словами – работать) у него в подразделении. Сам Алексей начал работать с пятого курса, когда «мозгодробительные» предметы в основном закончились, но сегодня, как начальник, которому нужны люди, он тоже готов брать на работу хорошо соображающих студентов младших курсов, понимая, что большому счету это неправильно, и зная, что многие американские и китайские компании обучающихся, пусть даже и в аспирантуре, на работу не берут.
9. А еще я слышал, как и почему создавался МФТИ (https://vk.com/@1077823-o-mfti), в котором первые поступившие, на которых «ставила» страна, учились шесть дней в неделю с утра до позднего вечера, что привело к тому, что многие из них не только сделали то, что от них ждали, но и стали академиками (настоящими – советскими).
10. Я понимаю, что каждый молодой человек, условно говоря, хочет «водить девушку в кино» за свой, а не папин (если такой есть), счет. Но с другой стороны, я на всю жизнь запомнил главного мещанина царской России – отца семейства Бессеменова в исполнении выдающегося артиста Евгения Алексеевича Лебедева в грандиозном спектакле «Мещане» у Товстоногова (https://www.youtube.com/watch?v=t_QJ58wBptI), который кричал своему сыну: «Ты сначала стань человеком, а потом…». Так и я, видимо, являюсь тем же мещанином, который повторяет слова Бессеменова применительно к образованию талантливых молодых людей (другие пусть делают, что и когда хотят…). Но при этом хорошо понимаю, что все сказанное мной, не более чем то же самое, что против ветра…
11. А вот еще от Максима Буздалова: «Я тут пары третьему курсу начал читать. И фидбэк от тех двоих, кто явился лично, а не на ютубе смотрел, был такой: мол, до этого пять семестров учились по заданной программе, а тут предметы по выбору. И непонятно, что выбирать – на все ходили бы, но времени столько нет. Это как минимум в копилку того, что на третьем курсе многие не знают, чего хотят. Хорошо, что хотя бы некоторые из них этот факт осознают.
12. На конференции по образованию YaC/e 2023 (https://www.youtube.com/watch?v=68OJqeuleGY) научный руководитель программы «Приоритет-2030» А.Е. Волков, наконец-то, приблизил вопрос о столь любимых многими индивидуальных образовательных программах (траекториях) к реальности: так учиться, а не отбывать номер, чтобы иметь больше времени для работы в ИТ-компаниях, могут только очень мотивированные студенты, число которых, по его мнению, не превышает 20% (засечка в трансляции – 3:55:51)! Все это так, но на Матфаке ВШЭ, начиная с третьего курса, допускается большая вариативность выбираемых предметов (https://www.youtube.com/watch?v=9YkzFYhqFjM).
13. В заключение высказывание Стива Джобса на эту тему: «Нельзя соединить точки своей судьбы, если смотришь вперед. Соединить их можно только ретроспективно».
15.11.2023.