Движение частицы в полях

Недавно я снова перерешивал известные физикам задачи про движение частицы в электромагнитном поле и наткнулся на интересную вещь, о которой никто не говорит. Я бы хотел поделиться своими наблюдениями с вами.

Задача стара как мир и была решена почти сразу, как возникла теория электромагнитного поля. Начнём с простого. Пусть у нас влетает в магнитное поле B (которое, к слову, мы направим вдоль оси аппликат) частичка с зарядом e и со скоростью v. Конечно, дабы хоть что-то происходило, частичка должна лететь под углом к полю. Ну коли мы знаем угол и модуль скорости, не составит труда найти проекции, а ежели знаем проекции, сможем найти и углы. В общем предположим тогда, что мы знаем проекции скорости в начальный момент времени. Картинку мы имеем какую-то такую:

Ну решить такую задачку не составит большого труда, коли мы умеем решать диффурчеги да знаем пару лайвхаков с комплексными числами. Во-первых стоит отметить, что коль скоро частичка движется НЕ вдоль линии магнитного поля, на неё будет действовать сила Лоренца, которую можно записать через векторное произведение:

Тогда вполне законно пишем II закон Ньютона в проекциях на оси:

Проще всего интегрируется уравнение вдоль оси Oz. Вдоль неё частичка движется с нулевым ускорением, т.е. с постоянной скоростью, поэтому можем сразу написать:

А вот 2 первых — отдельный случай. Мы видим, что эти уравнения связаны между собой. Система из связанных уравнений в общем случае не имеет аналитических решений, но общий случай — не наш. Оказывается, что эти 2 уравнения можно объединить в одно, если ввести новую переменную r=x+iy. Действительно, давайте домножим второе на i и сложим с первым. Тогда получим:

Что приводится к:

Или через переменную r:

Это уравнение уже легко проинтегрировать:

Откуда получаем:

Или:

Дабы далее не заграмождать формулы введём переобозначение:

И теперь нам стоит ещё раз проинтегрировать это уравнение:

Экспоненту можно расписать через синус и косинус:

Теперь вернёмся к иксу и игреку: x=Re{r}, y=Im{r}:

Можно теперь воспользоваться начальными условиями. Ну допустим, что в момент времени t=0 x=0, а скорость — это начальная скорость по иксу. Для игрека то же самое.

Так мы находим уравнения движения:

Что представляет собой винтовую линию. Проекция траектории на ось xOy — это окружность радиуса vx0/ω. Ну в общем-то вот и всё, уравнение получено) Дальше можно развивать эти уравнения, найти шаг винта, но нам пока этого не требуется. Рассмотрим лучше другой случай.

Включим теперь поле Е и направим его под некоторым углом к В:

Пусть поле Е лежит в плоскости yOz. Тогда Ez=Ecosα, Ey=Esinα, Ex=0. Сила Лоренца запишется в виде:

Мы выше считали это векторное произведение, поэтому сразу запишем II закон Ньютона в проекции на оси:

Опять же, проще всего решить для z. Это суть движение с постоянным ускорением. Вспоминая школьную формулу, без зазрения совести пишем:

С первыми двумя как всегда проблемы… Видно, что не очень-то они и отличаются от прошлых, а значит может прокатить тот же трюк (спойлер: да, прокатит):

Сложность теперь состоит в том, что это теперь неоднородное уравнение, но есть приём, позволяющий и такое уравнение решить. Давайте представим общее решение как решение однородного уравнения и какого-нибудь частного:

Однородное уравнение — это такое, в которой нет постоянного члена. Его можно написать в таком виде:

Тут мы ввели то же переобозначение. В общем-то его можно решить также, как и прошлое, но я хочу продемонстрировать другой метод — метод Эйлера. Давайте представим решение в виде экспоненты:

Подставим это в уравнение и сократим на С*exp(λt):

Первое решение λ=0, второе — λ=-iω, поэтому решение можно представить в виде:

Что полностью соответствует прошлому случаю. Теперь найдём частное решение. Метод его нахождения — угадывание. Ну вот например можно попробовать поискать решение в виде линейной функции. Почему? Да потому что вторая производная обнулится, а первая будет константой! Итак, пусть r(част)=Ct, тогда:

Откуда немедленно находим:

А значит общее решение представимо в виде:

Опять экспоненту разложим на синус и косинус:

И найдём x и y:

Те же самые начальные условия:

Откуда:

И напишем, наконец, уравнения:

Это уже более интересная траектория. Давайте качественно посмотрим, что это такое. Положим vy0/ω=1 и Ey/B=1. Тогда траектория в плоскости xOy есть:

Интересная траектория получается, не так ли? Она называется циклоидой. А что, если Ey/B>1? Ну например 6. Тогда получим:

Ну а если меньше 1? например 0,5. Тогда получим:

Опа, прикольные завитушки получились) Обе эти траектории называются трохоидами. Трохоида, циклоида и окружность связанны между собой. Так циклоида — это траектория точки на катящимся колесе. Первый вид трохоиды — это траектория точки, находящейся между центром и окружностью, а второй — за окружностью, что наталкивает на мысль…

А давайте-ка найдём радиус окружности, которую описывает циклоида! На первый взгляд сделать это трудно, но можно сделать одно наблюдение. Длина половины периода циклоиды равна l=8r. Но с другой стороны её можно найти как:

Можно найти аналитически период T. Для этого заметим, что циклоида обращается в этих точках в -1 (на нашем графике), поэтому:

Таким образом можно сказать, что:

А вот теперь вопрос: что это за окружность такая, которая катится и описывает траектории? Есть ли у неё физический смысл? И, самое главное, можно ли с помощью неё просто изучать свойства траекторий движения в электромагнитном поле? Видимо для этого надо взять этот интеграл, который, к слову, довольно сложный. В общем пока это вопрос открытый, а на этом пока всё, удачки)